数字の「1001」に関わる各種の話題－1001はシェへラザード数と呼ばれている

はじめに

数字の「1001」と聞いて、皆さんが思い浮かべるのは「千夜一夜物語」だろう。数字の「1001」は、以下で説明する独特の法則もあり、この物語のヒロインであるシェヘラザードと結び付けて「シェヘラザード数」と呼ばれるもの（の１つ）になっている。

今回は、この数字の「1001」について、それが現れてくる例やその理由等について調べてみた。

千夜一夜物語

「千夜一夜物語」、「千一夜物語」あるいは「アラビアンナイト」の名称で知られている物語は、イスラム世界の説話集である。英語名では「One Thousand and One Nights」だが、1706年に最初の英語版が出版された時のタイトル「The Arabian Nights' Entertainment」から、「アラビアンナイト（Arabian Nights）」として知られている。

「千夜一夜物語」は、概ね「ペルシャのシャフリヤールという王が、妻の不貞を知ったことから妻と相手の首をはねるとともに、女性不信となり、毎日女性を宮殿に呼んで一夜を過ごしては、翌朝にはその首をはねるという生活をしていた。これを見かねて、王の側近の大臣の娘シェヘラザードが名乗り出て王妃となり、毎夜、王に対して興味深い物語を聞かせた。王は話の続きを聞きたくて、王妃を殺さず、ついに千一夜が過ぎ、最後は王の心が和んで、シェヘラザードを終生の妻にした。」という物語である（表現上の制約等により、物語の説明に正確性が欠けていることはご容赦いただきたい）。

元々の写本等では二百数十夜でタイトルも「千夜」だったようだが、それがやがてタイトルを含めて「千一夜」になっていったとのことである。また、結末についても、いろいろなバージョンがある。また、なぜ「1001」なのかについても、諸説ある。毎日一夜ずつ読んでも約3年もかかるという、長大な物語であることを強調したかったとか、そもそも「1001」が「多数」を意味しているからとか、「1000」ではないのは偶数が嫌われたから、とか言われている。

因みに、「千夜一夜物語」からの代表的な物語としては「シンドバッドの冒険」、「アラジンと魔法のランプ」、「アリババと40人の盗賊」等が挙げられる。

シェヘラザード数

この「千夜一夜物語」のヒロインであるシェヘラザードから「シェヘラザード数」と呼ばれるものがある。米国の建築家・未来学者として知られるリチャード・バックミンスター・フラーが、その1975年の著書『シナジェティクス』の中で、1001 を含む一連の数を「シェヘラザード数」と呼んだことに由来している。

この「1001」は特別な性格を有した数字となっており、3桁の数を2つ重ねて、それを1001で割ると、その元の3桁の数字になる。これを「シェヘラザードの法則」と呼ぶ人もいる。具体的には、以下の通りである。

三桁の数字「634」に対して、それを2つ重ねた「634634」を考える。この数値を1001で割ると「634」になる。

これは、考えてみれば明らかなことで、逆にそもそもある三桁の数に1001を掛けるということは、その数字を2つ並べることに等しいことから、何ということはない事実であり、法則と言うほどのものでもないと思われるかもしれない。

千夜一夜物語の影響を受けた作品

「千夜一夜物語」は、多くの文化に影響を与えてきているが、そのうちのいくつかを挙げると、以下の通りとなっている。

クラシック音楽の世界においては、ロシアの作曲家であるリムスキー＝コルサコフの交響組曲「シェヘラザード」が最も有名で、この作品は４つの楽章（Ｉ．海とシンドバッドの船、II．カレンダー王子の物語、III．若い王子と若い王女、IV．バグダッドのお祭り）で構成されている。

「アラビアンナイト」や「アラジン（の冒険、と魔法のランプ等）」等の数多くの映画、アニメやミュージカル等も製作されてきている。

1001＝7×11×13 を利用した整除判定法

「1001」は7×11×13という形で素因数分解される。即ち、7と11と13を約数としている。これを利用して、ある数字が7や11や13で割り切れるどうかの判定（整除判定）を行うことができる。

例えば、「304114356」という数字を考える。この数字が 7や11や13で割り切れるどうかを判定するのに、もちろん電卓を使えば直ぐに判定できるが、手で計算するのはかなり大変なものとなる。ところが、この数字が7や11や13で割り切れるどうかの判定を、以下のプロセスにより、比較的簡単に行うことができる。

(1) 数字を右端から3桁ごとに区切る。上記の例では「304」、「114」、「356」

(2) その中の奇数番目のグループと偶数番目のグループをそれぞれ足し合わせる。　　　　　　　　　奇数番目「304＋356＝660」、偶数番目「114」

(3) 奇数番目のグループの和から偶数番目のグループの和を差し引く。
660－114＝546

(4) (3)の数値が7や11や13で割り切れるどうかが、元の数値が7や11や13で割り切れるどうかの判定と等しくなる。546／7＝78、546／11＝49.63…　、546／13＝42　であるから、元の数は7と13では割り切れるが、11では割り切れないことになる。

これも、10³＋1＝1001、10⁶－1＝999999　が共に1001、したがって7と11と13を約数として有している中で、

10³⁽²ⁿ^－¹⁾+1=（10³＋1）（10³⁽²ⁿ^－¹⁾－10³⁽²ⁿ^－²⁾－・・・－1）
10³^・²ⁿ－1=（10⁶－1）（10⁶⁽ⁿ^－¹⁾＋10⁶⁽ⁿ^－²⁾＋・・・＋1）

となっている、即ち、mod a（数値aを序数で割った時の剰余を示す）を使えば、

10³⁽²ⁿ^－¹⁾=－1　 mod 1001 (mod 7 & mod 11 & mod13 )　　偶数番目のグループに対応
10³^・²ⁿ=1 mod 1001 (mod 7 & mod 11 & mod13 )　　奇数番目のグループに対応　

であることから、上記の整除判定法が正しいことがわかる。

「14Ｃ4＝1001」 NBAのドラフト抽選等

14個の異なるものから4個を選ぶ組み合わせの数（例えば、トランプのA（エース）から10、ジャック、クイーン、キング及びジョーカーの14枚のカードから4枚選ぶ組み合わせの数）は ₁₄Ｃ₄でこれは「1001」となる。

この組み合わせの数が実際に使用されている例として、以下が挙げられる。

NBA（全米バスケットボール協会）のドラフト抽選（NBA draft lottery）は、前年にプレーオフに進出できなかったチームが抽選プロセスに参加して、NBA ドラフトのドラフト順位を決定するイベントである。現在のNBAは30チームで構成されており、そのうちの16チームがリーグチャンピオンを決定するために開催される勝ち抜きトーナメントであるプレーオフに進出する形になっている。従って、残りの14チームがドラフト抽選の対象になっている。

このイベントにおいては、14個のボールから 4 個のボールを選択することで 1,001 通りの組み合わせの抽選を使用し、11、12、13、14 の組み合わせを無視して 1,000 通りの結果を生成している。

14のチームは成績の悪い順にシードされ、各チームに対して、1000通りの組み合わせのうちの一定数がシード順に応じて割り当てられる。具体的には、上位3シードのチームには140の組み合わせ、第4シードには125、第5シードには105、第6シードには90、第7シードには68、第8シードには67、第9シードには45、第10シードには30、第11シードには18、第12シードには17、第13シードには10、そして、最後の第14シードには5の組み合わせ、が割り当てられる¹。

抽選によって当該の組み合わせが割り当てられたチームが指名権を獲得することになる。

¹ なお、各シードに割り当てられる組み合わせの数については、シードされるチームの数自体も過去から変化（増加）してきている中で、その時々の状況に応じて、決定されてきているようだ。

数学における数字としての「1001」

「1001」が、数学の場面で現れてくる例としては、以下のものが挙げられる。

・先に述べたように、1001は7と11と13の3つの素数の積となっているが、このような数を「スフェニック数（楔数）（Sphenic number）」と呼んでいる。全てのスフェニック数はちょうど 8 個の約数を有している。

・1001は、「回文数（Palindromic number）」と呼ばれる、逆から数字を並べても同じ数になる数、となっている。そのべき乗も4乗までは回文数となっているが、5乗になると桁上りが発生するため、回文数とならない。具体的には、以下の通りである。

1001⁴=1004006004001
1001⁵=1005010010005001

・1001は、「五胞体数」あるいは「ペンタトープ数（Pentatope number）」と呼ばれる、パスカルの三角形²の5段目の左上から右下または右上から左下の数列、の1つである（下記の（参考）参照）。これは、（パスカルの三角形の4段目の左上から右下または右上から左下の数列となっている）三角錐数を1から小さい順に加えた数となっている。n番目のペンタトープ数は、_n+3Ｃ₄で表される。具体的には、以下のような数列になっている（先に述べたように、11番目が1101になっている）。

1、5、15、35、70、126、210、330、495、715、1001、1365　・・・

² 「パスカルの三角形」については、これまでも、研究員の眼「図形数について（その2）－3次元立体図形に関する図形数、ウェアリングの問題等－」(2022.12.28)や研究員の眼「フィボナッチ数列について（その3）－フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか（自然界以外）－」(2021.3.26)等で紹介してきた。

最後に

今回は数字の「1001」について、それが現れてくる例やその理由等について、紹介してきた。

数字の「1001」については、「千夜一夜物語」で有名だが、いくつかの書籍や映画のタイトル等でも「1001」というタイトルが使用されていたりする。ただし、「1001」という数字が使用される場合、基本的には文字通りの数値を表しているのではなくて、（1000を超えるような）非常に大きな数字を示すために使用されているケースが殆どである。

1000を超えるような特定の数字でも、数字としての特殊性から、注目されるケースもある。これらについては、今後の研究員の眼で紹介していきたいと思っている。それ以外のケースにおいては、1000を超えるような数字が一般の人々にとって意味を有するのは、具体的な事象等と結びついたようなケースに限定されているものと思われる。