複素数について（その３）－複素数の工学・物理学への応用

複素数について（その３）－複素数の工学・物理学への応用－

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はじめに

今回の研究員の眼のシリーズでは、「虚数」及び虚数と実数で構成される「複素数」について、今一度それがどのようなもので、どんな性質を有しており、はたまたそれがどのように社会で役に立っているのか等について、何回かに分けて報告している。

まずは、前々回は、「虚数」とは何か、から初めて、虚数と複素数の歴史と概要について、説明した。前回は、複素数が数学の世界において、どのように有効に利用されているのかということで、方程式に関係するトピックについて説明した。複素数の研究を通じて、代数学の世界が飛躍的に進展していった。

今回は、複素数が工学や物理学の世界において、どのように有効に利用されているのかということで、電気・電子工学や量子力学等に関するトピックについて簡単に紹介する。なお、概略の説明になるので、細部に正確性が欠ける点等はご容赦いただきたい。

多くの物理現象においては、波の性質が観測され、これを表現するために、三角関数が使用され、さらにより複雑な波の性質を表現するために、オイラーの公式を通じて、指数関数　eⁱ^θ（＝cos θ＋i sin θ）が使用される。これによって複素数が現れてくることになるが、逆にこうした表現が物理現象の解析の効率化等に大きく貢献する形になっている。

電気・電子工学における複素数の利用

電気は、電流と電圧を使って表現される。電流には、直流と交流がある。

直流の場合、電圧は時間によらず大きさと向きが一定なので、電気回路の解析は、比較的簡単に行われる。その表現は実数の世界の中だけで行われて、虚数が現れてくることはない。

一方で、交流の場合、電圧は時間とともに大きさと向きが変化する。さらに、これに対する電流は必ずしも電圧の変化に連動しているわけではない。こうした電圧や電流の動きは波形で表現される¹。波を表すためには、波の大きさを示す「振幅」と波形における特定の位置を示す「位相²」が重要になってくる。実際に、「正弦波³」と総称される波の三角関数での表現は、以下のようになっている（sin の中身が「位相」）。

ここで、

A：（最大）振幅　　x：距離　　t ：時間　　

f：周波数（よって、周期T＝１／f ）
λを波長（波の周期の長さ）とした場合、波数（波の空間周波数）⁴　k＝2π／λ
v：波の（位相）速度（＝fλ）　　φ：初期位相

こうした電圧と電流の2つの波をその位相のずれ⁵を含めて（1つの式で）表現する場合に、虚数が使用される。虚数を使用しないでも表現できるが、虚数を使用した方がより簡単に表現できることになる（虚数を使用しない場合には2つの式が必要になるが、虚数を使用すると2つの式を1つの式で表現できる）。なお、電気・電子工学においては、電流がｉで表されるため、通常、虚数単位としてはjが使用される。また、複素数で表現する場合、微分がより簡単に行えることから、三角関数ではなくて、指数関数による表示が使用される。

電気・電子工学では、フーリエ変換を使用して様々な電圧と電流を解析する。抵抗器R、コイル（インダクタ）L及びコンデンサCの扱いは、後者の2つに周波数依存の仮想的な抵抗を導入し、3つ全てを「インピーダンス」と呼ばれる1つの複素数に組み合わせることで統一的に取り扱う。

具体的には、抵抗器、コイル及びコンデンサのインピーダンスは、以下の通りとなる。

抵抗器：直流における電気抵抗がRであるとき、R（複素平面上の右向きのベクトル）
コイル：インダクタンス⁶をLとすると、Z_L＝jωL（複素平面上の上向きのベクトル）
　　　　ここで、ω（＝2πｆ）は交流の角周波数（ｆは周波数）
コンデンサ：キャパシタンス⁷をCとすると、

結果として、これらの合成インピーダンスZは、以下の通りに表現されることになる。

これにより、１つの式にあらゆる情報が含まれる形になる。複素数表示を使用することで、どんなに複雑な電気回路であっても、それらの構成要素の微分形式とキルヒホッフの法則⁸を使うことで、その解析をより容易に行うことができることになる。

¹ 電流や電圧の動きが波となり、波が三角関数で表現されることは、三角関数に関する研究員の眼のシリーズ（例えば、研究員の眼「「三角関数」と「波」の関係－三角関数による「波」の表現と各種の波（電磁波、音波、地震波等）－」(2021.5.18)）で報告してきたので、ここでは詳しくは述べない。
² 位相とは、波の山や谷の特定の位置。
³ 余弦関数（cos）の波形である「余弦波」についても、正弦波がシフトしたもの（cos x＝sin(x+π/2)）で波形が同一となることから、ここでは、これらを含めて、いわゆる「正弦波」による表現としている。
⁴ 単位長さの直線に何波長分の波が入るかを表す数。
⁵ 交流回路においては、直流とは異なり、コンデンサやコイルにも抵抗が現れるが、コンデンサやコイルに発生する電圧は、電流とはπ／2ずつ位相の異なる波となる。π／2の位相差は、複素平面上では90度の角度の差であり、これは iに相当するものとなる。
⁶ 誘導係数とも呼ばれ、コイルなどにおいて電流の変化が誘導起電力となって現れる性質。
⁷ 静電容量とも呼ばれ、コンデンサなどの絶縁された導体において、どのくらい電荷が蓄えられるかを表す量。
⁸ 電流則（キルヒホッフの第1法則）：回路網中の任意の接続点に流出入する電流の和は 0（零）である。
電圧則（キルヒホッフの第2法則）：回路網中の任意の閉路を一巡するとき、起電力の総和と電圧降下の総和は等しい。

（参考）フェーザ表示
「フェーザ表示」と呼ばれる複素数表現では、例えば、複素数Aと実数ωにより定まる一変数tの関数Aeⁱ^ωtで、時間tに対して周期的に変化する量を表しており、これは上記で述べたような、電気・電子工学における回路解析や、機械工学・ロボット工学における制御理論、土木・建築系における振動解析等で使用されている。

量子力学における複素数の利用

「量子力学（quantum mechanics）」は、「一般相対性理論」とともに、現代物理学における最も重要な基礎理論・分野であり、主として、分子や原子、それらを構成する電子等の微視的な物理現象を記述する力学となっている⁹。多くの人は、「量子力学」というその言葉を聞いただけで、難しいからそんな話は聞きたくない、との印象を持たれるかもしれない。あるいは、最近は「量子コンピューター」の開発が話題になってきているので、その基礎となる「量子力学」に興味・関心を持たれている方もいらっしゃるかもしれない。ただし、実際に「量子力学」の理論を理解するのは容易ではない。そこで、ここでは、あくまでも量子力学において「複素数」がどのような形で使用されているのか、との観点から、簡単な紹介を行うものとする。

量子力学の基礎方程式として「シュレディンガー方程式（Schrödinger equation）」がある。この方程式を解くことで、記号Ψで表される「波動関数」が得られる。シュレディンガー方程式は、三次元空間では、以下の形で表される。

ただし、左辺は、電子が持つエネルギー全体（運動エネルギー＋位置エネルギー）Eを用いて、右辺は、ハミルトニアン

¹⁰を用いて

のように表されることもある。

ここで、

はデイラック定数（又は換算プランク定数）¹¹、mは電子の質量、Vは電子のポテンシャルエネルギー、

はラプラシアンという微分演算子で、

となる。

量子力学が扱うミクロの世界では、物体は粒子と波という2つの性質を有している。伝統的なニュートン力学による運動方程式では粒子としての電子の運動しか記述することができないので、新たな概念が必要になってくる。我々が日常生活を送っている世界においては、物体の粒子としての性質だけをみていれば問題はないが、電子や陽子、中性子といったレベルの世界では、波としての性質が無視できない重要なものとなってくる。

上記のシュレディンガー方程式の解として得られる「波動関数」というのは、まさにこうした電子等の波の運動を記述した式で、例えば簡単のため一次元で考えると、

は、位置x、時刻tにおける量子の状態を表す形になっている。ただし、波動関数が表しているのは、ある時点、ある時刻において確定した状態ではなく, その状態を取る「確率」、即ち「観測するまではどのような状態に確定するのかはわからないが、その状態に確定する確率」を示していると解釈されることになる。具体的には、

の絶対値の二乗（これは、

とその共役複素数を掛けた値）

が「量子の存在確率」を示していることになる。

シュレディンガー方程式については、ここではこれ以上は詳しくは説明しないが、今回のテーマに関連して注目すべき点は、左辺に虚数単位ｉが現れてくることにある。この結果として、波動関数も複素数の関数となっている。複素数が使用されているのは、電子の波の性質を表現するのには、振幅と位相の情報が必要になるが、実数部分だけを有する関数ではこれらの情報を十分に表現することができないことから、実部と虚部を有する正弦波や余弦波で表現する形になっている。その意味では、複素数表現は、オイラーの公式を通じて、シュレディンガー方程式を導く際の数学的な道具や武器のようなものと言えるかもしれない。

こうして得られる波動関数については、先ほど述べたようにそれ自体は必ずしも実数にはならないので、その共役複素数との積である絶対値の二乗でもって、これを「量子の存在確率」として、観測可能な物理現象と対応付ける形となっている。

その中で、量子力学については、波動関数の複素数の意味するところ等、様々な解釈問題が提起され、議論されてきている（が、ここではその内容については触れない）。

それでも、量子力学は現代の科学技術の重要な根幹の理論であり、量子力学がなければ、スマートフォンもパソコンも生まれなかったかもしれない。従来のコンピューターは2進法がベースで「0」か「1」か、で計算が進められるのに対して、量子コンピューターでは「0」でもあり「1」でもあるという状態を認めることで、極めて高速な計算が可能になる。

⁹ 「量子」は、粒子と波の性質をあわせ持った、とても小さな物質やエネルギーの単位のことで、原子やその構成要素である電子・中性・陽子、さらには光を粒子としてみた時の光子やニュートリノ、クォーク等の素粒子等。
¹⁰ 物理学におけるエネルギーに対応する物理量で、量子力学では正準変数（ハミルトン形式の解析力学において、物体の運動を記述する基本変数として用いられる一般化座標と一般化運動量の組）を量子化した演算子。各物理系の持つ多くの性質は、ハミルトニアンによって特徴付けられる。
¹¹ プランク定数 h を 2π で割った値を持つ定数。プランク定数は、光子のもつエネルギーと振動数の比例関係を表す比例定数のことで、6.62607015×10−34 J⋅s（ジュール秒）。

（参考）波動関数について
波動関数

は、一般的に以下のような形になる。

ここで、kは定数、xは距離で、e^ikx　はx＝2π／kを周期とする周期関数となり、空間的に周期性を有してx方向に移動する波となる。また、ωは角速度、tは時間で、eⁱ^ω^t　は角速度ωで振動する、時間的に周期性を有する運動となる。これらの2つを掛け合わせたe^i(kx+^ω^t)　は周期的に振動しながら空間を移動する波を表現している形になっている。

なお、シュレディンガー方程式において、エネルギーEの演算子に虚数単位iが現れてくるのは、粒子の波動性を表現するためにeⁱ^××という表記を採用していることに伴うものである。

日付	タイトル	執筆者	媒体
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媒体

2025/08/07

複素数について（その３）－複素数の工学・物理学への応用－

中村亮一

研究員の眼

2025/08/04

EIOPAがソルベンシーIIのレビューに関する最初のRTS(案)等のセットを欧州委員会に提出等

中村亮一

保険・年金フォーカス