コラム
2024年06月06日

曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その６）－トロコイド・リマソン・カージオイド等－

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リマソンのトリセクトリックス（三等分線）について

a=1、b=0.5のときの図形がトリセクトリックスと呼ばれるのは、以下の図において、(1) ∠BAPの角度が∠APOの角度の3倍になっている（外側のループの三等分性）、(2) ∠AOCの角度が∠AOPの角度の3倍になっている（内部ループの三等分性）、ことによる。
リマソンのトリセクトリックス（三等分線

カージオイドについて

カージオイド ここでは、上記で示したように「リマソン」の一種であり、前回の研究員の眼で述べたように「エピサイクロイド」の特殊なケースにもなっている「カージオイド（cardioid）」について述べる。

カージオイドは、その形状から「心臓形」とも呼ばれる。まさに、英語のcardioid自体が、ギリシア語のκαρδιά (kardia心臓）に由来しており、その形状に因んで、この名前が付けられている。

「カージオイド」は、以下のような形で表される。
カージオイド
また、曲線で囲まれる面積Sと曲線の弧長ℓは、以下の通りとなる。
曲線で囲まれる面積Sと曲線の弧長ℓ
カージオイドは、放物線の反転図形5（反転の中心が焦点）となっている。

具体的には、a=1 のときの、カージオイドとその反転図形との関係は、以下の図のようになっている。
a=1 のときの、カージオイドとその反転図形との関係
より一般的に、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）6の極方程式は、と表される（ここで、eは離心率、ℓは焦点から準線までの距離にeを掛けた値）が、その反転図形（反転の中心は焦点の１つ）の極方程式は、
反転図形（反転の中心は焦点の１つ）の極方程式
と表され、これはリマソンとなる。則ち、円錐曲線の反転図形はリマソンとなる。

e=1 のときが放物線で、（上記のように）その反転図形がカージオイドとなる。また、0＜e＜1　のときが楕円で、その反転図形は内部ループを有しないリマソンとなる。さらに、e＞1　のときが双曲線で、その反転図形は内部ループを有するリマソンとなる。
 
5 中心O、半径rの円に関して、OP・OQ＝r2　が成り立つとき、点Qはこの円に関して点Pと対称である、という。任意の点Pから点Qへの変換を「反転」といい、Oを「反転の中心」という。
6 円錐曲線（極方程式、焦点、準線等）については、以前の研究員の眼「曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その１）－円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）とは－」(2023.10.16)で説明しているので、こちらを参照していただきたい。

最後に

以上、今回は、「トロコイド」、「パスカルの蝸牛形」とも呼ばれる「リマソン」及び前回の研究員の眼でも紹介した「カージオイド」等について報告してきた。

媒介変数表示によって、各種の曲線を表すことができるが、それらがまたその表示形式等によって、いくつかに分類されながらも、思わぬところで、共通部分を有していることもある。さらには、今回紹介したように、リマソンと（以前に紹介した）円錐曲線は、お互いの反転図形として、密接に関係していることにもなっている。なかなか興味深いことだと思われるが、いかがだろうか。

次回の研究員の眼では、これまで紹介してきたこれらの「サイクロイド曲線」等が社会において、どのように利用されているのか等について報告する。

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(2024年06月06日「研究員の眼」)

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中村 亮一

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