曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その１）－円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）とは

はじめに

学生時代に、複雑な算式を図表で表すと、いろんな形の曲線が描かれるのを勉強したと思う。この時には、「へー、そうなんだ」ぐらいの認識でおられた方も多く、むしろ、こうした算式の取扱いに四苦八苦して、結果として得られている曲線が、社会において、あるいは自然界において、どのような形で現れていて、どう役立っているのか、については、あまり説明がなく、殆ど勉強する機会もなかったのではないかと思われる。

ということで、今回の研究員の眼のシリーズでは、「曲線」について、どんな種類があって、それらが実際の社会における、どのような場面で現れてきて、どう社会に役立っているのかについて、報告してみたい。まずは、今回は、楕円、放物線、双曲線等の「円錐曲線」について、その定義等について説明する。

円錐曲線とは

「円錐曲線（conic curve、conic section）」というのは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面としてえられる曲線群の総称、を指している。具体的には、以下の図のように、円錐をどのような平面で切断するのかによって、切断面は「円（circle）」や「楕円（ellipse）」、「放物線（parabola）」、「双曲線（hyperbola）」になる¹。

具体的には、円錐を頂点を通らない平面で切断する場合に、以下の通りとなる。

(1) 円
底面に平行に円錐を切断する場合

(2) 楕円
底面と平行ではなく、１つの円錐を切断する場合

(3) 放物線
円錐の傾きと平行に円錐を切断する場合

(4) 双曲線
２つの円錐を切断する場合

なお、円錐の頂点を通る平面で切断した場合には、「点」や「交わる2直線」となるが、これらは通常は「円錐曲線」には含まれない。

¹ 円錐は下にいくほど幅が広くなっていることから、実は斜めに切断した場合には、「卵型」のように下部が幅広くなっているのではないかと思われる人もいるかもしれないが、実際に「楕円」ということで上下あるいは左右対称になっている。

円錐曲線の2次式による表現

円錐曲線は、座標平面上で、以下のような2次式で表現される²ことから、「二次曲線」³と呼ばれる。

任意の円錐曲線は、適当に直交変換することによって、次のいずれか形に変形することができ（括弧内は、先に述べた円錐の切断方法）、これらの算式が、円錐曲線の「標準形」となっている。

(1) 円（全ての母線⁴と交わり、底面に平行な平面で切断）

(2) 楕円（全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断）

(3) 放物線（母線に平行な面で切断）
　　　　　x²＝4ay　　又は　　y²＝4ax

(4) 双曲線（母線に平行でない平面で切断）

又は、これらを「固有二次曲線」という。なお、先の2次式（※）で表される図形には、固有二次曲線に加えて、「退化した二次曲線」と呼ばれる、二直線（軸を全て含む平面で切断）、一直線、1点、さらには実数の範囲には解が無い「虚円、虚楕円」がある。

上記の2次式（※）との関係では、P＝AC－B²／4　としたとき、基本的に以下の通りとなる。

P＞０　のとき　楕円
P＝０　のとき　放物線
P＜０　のとき　双曲線

² このように、円錐曲線を二次曲線として表現する方式は、「我思う、ゆえに我あり」で有名なフランスの哲学者かつ数学者であるㇽネ・デカルト（René Descartes）が、2つの実数によって平面上の点の位置（座標）を表す「デカルト座標」を発明したことによるもので、これにより「解析幾何学」の発展の基礎が築かれた。また、二次曲線については、無限大の記号∞を導入したことでも有名なイングランドの数学者であるジョン・ウォリス（John Wallis）が、1655年に、円錐曲線を初めて二次曲線として定義して解析する論文を発表している。
³ 曲線には、シッソイド，ストロフォイド等の三次曲線やパスカルの蝸牛線（リマソン）等の四次曲線等のさらなる高次曲線がある。これらについては、別途報告することとする。
⁴ 生成曲線とも呼ばれ、それが定められた経路をたどって動く時の軌跡として新しい図形を生成する曲線。円錐の場合、展開した場合の扇形の部分であり、円錐の頂点から側面上に底面に向かって真っすぐに引かれる線となる。

円錐曲線の離心率による定義

直線と、その直線上に含まれないような点Fを取り、点Fから直線への垂線に対して点Fのある方向が正と定め、それをx軸とする。直線上で点Mを動かすとき、その直角位置上で FP : PM= e : 1（e > 0）を満たすような点Pの集合は円錐曲線を描く。この時、FPとPMの比の値eを「離心率（eccentricity）」といい、直線を「準線（directrix）」、点Fを「焦点（focus）」という⁵。円錐曲線は、焦点、準線、離心率の３要素を与えることで作図できる。その定義から、円錐曲線上の点は、どこを取っても準線までの距離と焦点までの距離が同じ比率eになる。

具体的には、離心率 eによって、描かれる円錐曲線は、以下の通りとなる。

0 < e < 1　のとき　楕円
e = 1　　のとき　放物線
e > 1　　のとき　双曲線

なお、e=0 の時が「円」に相当することになるが、実際にはこの時には「点」になる。

即ち、離心率が1より小さい間は閉曲線になるが、離心率が1になると閉曲線でなくなり、さらに離心率が１より大きくなると曲線は大きく拡がっていくことになる。

離心率は円錐曲線の形状を決める唯一のパラメーターで、離心率が同じであれば、必ず同じ形状（相似）になる。相似とは、拡大縮小、平行移動、回転等の操作を組み合わせることで、一方の図形が他方とぴったり重なることをいう。

「円」については、すべての円が相似であることは形状的に明らかだが、「楕円」については、その離心率は扁平率⁶に対応しており、扁平率が同じ楕円は相似となる。離心率あるいは扁平率が0に近いほど円に近く、1に近いほど潰れた楕円になる。

「放物線」については、離心率が１に固定されていることから、あらゆる放物線は相似となる（なお、縦横比の異なる拡大縮小は相似の操作として認められていないが、縦横比を変更しても、放物線は放物線となる）。

「双曲線」の離心率は２本の漸近線のなす角と対応しており、角度さえ同じであれば、相似になる。例えば、全ての直角双曲線（漸近線のなす角度が90％の双曲線）は離心率が√2となり、互いに相似となる。なお、離心率が１に近いほど頂点の鋭い曲線になり、値が大きいほど緩やかな曲線になる。因みに、離心率が無限大に近づくほど準線と一致する直線状になっていく。

なお、先の座標平面上の2次式による表現においては、焦点の座標は以下の通りとなる。

円錐曲線の極座標表示

円錐曲線を極座標表示すると、rを線分FPの長さ、θを線分FPがx軸となす角度として、以下の通りとなる。

ここに、eは離心率で、ℓは「半通径」又は「半直弦」と呼ばれるパラメーターで、焦点Fから準線までの距離にeを掛けたもの。

この時、先に述べた時と同様に、以下の通りとなる。

0 < e < 1　のとき　楕円
e = 1　　のとき　放物線
e > 1　　のとき　双曲線

⁵ 「準線（directrix）」や「焦点（focus）」の用語は、次回の研究員の眼で説明する、有名な惑星の運動法則である「ケプラーの法則」を発見したケプラーによって導入されている。
⁶ 楕円が円に比べて、どれだけ扁平か（潰れているか）を表す値で、長半径をa、短半径をbとした時に、１－b／a で定義される値である。