「理由不十分の原則」の怪－何の情報もない場合、とりあえず「確率は同じ」と置くと…

保険研究部主席研究員兼気候変動リサーチセンターチーフ気候変動アナリスト兼ヘルスケアリサーチセンター主席研究員篠原拓也

このレポートの関連カテゴリ

◇ 理由不十分の原則が先入観の強化につながらないように

いま、AI(人工知能)は、さまざまな分野で技術開発が進められている。そのAIでは、機械学習の過程で、確率の更新を何度も行って、状況の認識や、将来の予測の精度を高めている。

このように、確率の更新を何回も繰り返す場合、通常は、更新のなかで確率の値が次々に修正されていくので、当初の事前確率の設定はあまり重要とはならない。

一方、人間が日常生活のなかで行う、予想や推測においては、事前確率は先入観として影を落とす。先ほどの、2人きょうだいのうちの男の子の人数の問題では、とりあえず、男の子の人数が0人、1人、2人の場合の確率は同じで、それぞれ、3分の1ずつに設定するということになりやすい。

しかし、そうすると、子どもたちのうち1人が男の子だとわかったときに、もう1人も男の子である確率は、「男の子の人数が1人か2人の場合のどちらかとなり、2つの場合の確率は同じだから、2分の1だ」といった誤った推測につながってしまう。このようなことは、あまり好ましくないだろう。

3分の1、という正しい推測に至るためには、事前確率を適切に設定しておく必要がある。

人間が確率の検討を行う際は、「理由不十分の原則」にとらわれずに、慎重に事前確率を考えてみる必要があるといえるだろう。

(参考)　エントロピーを最大化する確率の計算

エントロピー H　＝　p×(-log p)　＋　q×(-log q)　＋　(1-p-q)×(-log (1-p-q))

が最大になるように、pとqを設定することを考える。

Hは、pとqの2つの変数を持つ多変数関数である。pとqは確率であり、しかもp＋q≦1の条件を満たす必要があるため、(p,q)の組は、次の青色の三角形の領域のいずれかの点をとる。

関数Hは、pとqに対して連続で微分可能。しかも、特異点はとらず、三角形の領域の内部に向かうほど高くなってくる(馬術の鞍のような形状をしていない)ことが確認できる。

そのうえで、Hをpとqで、それぞれ偏微分して、その結果を0と置く。(∂H/∂p は、Hのpによる偏微分を表す。)

∂H/∂p　＝　(-log p) ＋ p×(-1/p) ＋ log (1-p-q) ＋ (1-p-q)×1/(1-p-q)
＝ -log(p) ＋ log (1-p-q)
＝ log((1-p-q)/p)
∂H/∂q　＝ log((1-p-q)/q)

∂H/∂p　＝　∂H/∂q　＝　0　⇔　(1-p-q)/p ＝ (1-p-q)/q ＝ 1　⇔　p ＝ q ＝ 1/3

となって、pとqは、いずれも3分の1であることが示される。

(参考文献)

“Principle of Insufficient Reason”(Wolfram Mathworld, 2023年12月19日参照)

「確率は迷う: 道標となった古典的な33の問題」Prakash Gorroochurn 著, 野間口謙太郎翻訳(共立出版, 2018年)

“A Treatise on Probability” John Maynard Keynes (Macmillan & Co., London, 1921)

“Prior Probabilities” Edwin Thompson Jaynes (IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, vol. sec-4, no. 3, 1968, pp. 227-241)

“Die Principien der Wahrscheinlichkeits-Rechnung” Johannes von Kries (J. C. B. Mohr, Tübingen, 1886)

“Calcul des probabilités” Joseph Bertrand (Gauthier-Villars et fils, Paris, 1889)

「確率統計演習1 確率」国沢清典編 (培風館, 1966年)

「もう1つも同じである確率－追加情報は、確率にどう影響するか?」篠原拓也 (ニッセイ基礎研究所, 研究員の眼, 2016年6月6日)