コラム
2023年07月14日

数字の「15」に関わる各種の話題－「15」という数字は、「完全・完璧」なものを意味する考え方があるってこと知っていますか－

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数学に関係して現れてくる数字の「15」

「15」は、3次魔方陣（三方陣）の1列の和
「魔方陣（magic square）」というのは、n×n 個の正方形の方陣に、1からn2までの数字を１つずつ配置して、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもの、を指している（これを「n次魔方陣」あるいは「n方陣」と呼んでいる）。

このときの一列の和は、以下の通りとなる。
3次魔方陣（三方陣）の1列の和
3次魔方陣（三方陣）は、対称形を除けば下記の形しか存在しないが、各列の合計は15になる。
3次魔方陣（三方陣）の各列の合計
完全グラフのK6のパターンの数
「完全グラフ」については、研究員の眼「数字の「5」に関わる各種の話題－割と身近な数字と思われているが、実際はどうなのか－」(2023.1.5)でも紹介したが、任意の 2 頂点間にそれらを結ぶ枝（辺）があるグラフ、のことを指している。n個の頂点を有する完全グラフはKｎで表されるが、K6のパターンの数は、以下の15通りとなる。
完全グラフのK6のパターンの数
五角形による平面充填のパターン数
「平面充填」（隙間のないタイル張り）についても、研究員の眼「ハニカム構造について－ハチの巣はなぜ六角形なのか？－」(2021.7.16)で紹介したが、そこで述べたように「平面充填可能な正多角形は、正三角形、正四角形、正六角形の3種類しかない」。ところが、正多角形に限定しなければ、さらに多くのパターンが考えられることになる。

このうちの「五角形による平面充填（pentagonal tiling）」のパターン数については、2015年に、コンピューターを利用して、新しい15番目のパターンが発見された。これは1985年に14番目が発見されて以来、30年ぶりのことだった。

その後、2017年にマイケル・ラオ（Michaël Rao）が、これらの15 種類を超える凸五角形は存在しないという証明を完了したと主張した。ただし、この証明が正しいことは未だ最終確認されていないようである。

その他に「15」が現れる例

数字の「15」が現れてくる例としては、以下のようなものがある。

・日本の最高裁判所の裁判官の数は15人（長官と14人の裁判官）
・江戸幕府の最後の征夷大将軍は第15代徳川慶喜
・室町幕府の最後の征夷大将軍は第15代足利義昭
・サッカーのハーフタイムは15分、延長戦の時間も15分ハーフ
・アメリカンフットボールの標準的な試合時間は各クォーターが15分の4クォーターの合計60分

最後に

今回は数字の「15」について、それが現れてくる例やその理由等について、報告してきた。

「15」という数字も、ラグビーの「フィフティーン」ということだけでなく、東洋思想では「15」という数字を「完全・完璧」なものとみなす考え方がある等、各種の意味合いを有していることで、興味深い愛すべき数字だと再認識していただければと思っている。

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(2023年07月14日「研究員の眼」)

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中村 亮一

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