分数について（その２）－連分数に関する話題

はじめに

分数という概念は、小数の概念とは異なり、古代エジプトの時代から使用されていた。ただし、その使用のされ方は、現在とは必ずしも同様なものにはなっていない。

今回は、分数を巡る話題について、5回に分けて報告することにしているが、前回はその定義、起源、表記法等について述べた。今回は、連分数に関する話題について、述べることとする。

連分数

「連分数（continued fraction）」というのは、分母が数と分数の和となり、さらにその分母が数と分数の和となる、というような構造になっている、以下のような分数を指している。

このうち、分子が全て 1 である場合には、「正則連分数」（regular continued fraction）」（又は「単純連分数」）という。則ち、以下のような形の分数である。

これに対して、分子が全て1とは限らない場合には、「非正則連分数（irregular continued fraction）」という。

数字を連分数で表す場合、これを「連分数展開」と呼ぶ。また、a_iを部分商という。

なお、連分数展開は、例えば以下のような省略記法で表記される。

ここで、「・・・」が有理数の場合には、ある自然数nにおいて分母がa_nという整数のみとなって、展開が有限で終了して、「有限連分数」となる。一方で、「・・・」が無理数の場合には、このような展開が無限に行われて、「無限連分数」となる。

数字の連分数表示

有理数は有限正則連分数で表すことができ、その逆もまた真で、有限正則連分数で表すことができる数は有理数となる。このように有理数と有限連分数は本質的に1対1に対応している。

また、任意の無理数は無限正則連分数として一意に表される。このうち、「2次無理数（quadratic irrational）」（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は、必ず循環し、これを「循環連分数」、循環する部分を「循環節」という。逆に、正則連分数展開が循環連分数となる数は2次無理数となる。これは、18世紀のフランスの大数学者であるジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（Joseph-Louis Lagrange ）によって証明されている¹。

と、ここまでの説明を聞くと、小数に関する研究員の眼「小数について（その２）－循環小数を巡る話題－」（2023.1.30）において紹介してきた循環小数や循環節との類似性を意識される方もいらっしゃるのではないかと思われる。これらの関係は以下のようになっている。