フィボナッチ数列について（その１）－フィボナッチ数列とはどのようなものでどんな性質を有しているのか

フィボナッチ数列について（その１）－フィボナッチ数列とはどのようなものでどんな性質を有しているのか－

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はじめに

これまで「黄金比」と「白銀比」等の比率について、3回の研究員の眼で報告してきた。その中で、黄金比は自然界でも見られるが、これは「フィボナッチ数列」と関係している、と述べた。

フィボナッチ数列は、いろいろな分野で現れてくるものであり、大学の入試問題等でも、漸化式を使用した問題等として、勉強した覚えがあるのではないかと思われる。

今回は、このフィボナッチ数列について、3回に分けて報告する。まず今回は、その定義や性質等について説明し、次回以降に、その「フィボナッチ数列」がどのようなところで使用され、どんな場面に現れてくるのかについて報告する。

フィボナッチ数列とは

「フィボナッチ数列（Fibonacci sequence）」 (F_n) は、次の漸化式で定義されるものである。　

F₀ = 0
F₁ = 1
F_n+2 = F_n+ F_n+1 (n ≥ 0)　　　　〈※〉

これによれば、最初の数列は、以下の通りとなる。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（Leonardo Fibonacci）（本名はレオナルド・ピサノ（Leonardo Pisano）¹というが、父の名前のボナッチの息子という意味のfilius Bonacciが短縮されてフィボナッチと呼ばれるようになった）に因んで名付けられた数列である。

フィボナッチは、1202年のその著書『算盤の書』で、アラビア数字の位取り記数法等のシステムを欧州に導入したことで有名であるが、一方でこの著書の中で、以下に述べる兎（うさぎ）の問題で、いわゆる「フィボナッチ数列」の考え方を西洋で初めて紹介したことで、その名を歴史に大きく残すことになった。

¹ イタリアの都市ピサは「ピサの斜塔」で有名であるが、12世紀から13世紀にかけては商業都市の中心的存在だった。

兎の問題

レオナルド・フィボナッチによる「兎の問題」は、以下のようなものである。

・1つがいの兎は、生後2か月後から毎月1つがいの兎を産み、兎が死ぬことはないものとする。この場合に、産まれたばかりの1つがいの兎は1年後に何つがいの兎になるか？

これによると、つがい数の推移は以下の表のようになる。どの月の合計のつがい数も、その前の2つの月の合計のつがい数の和となり、フィボナッチ数が現れてくる。

なお、このオリジナルのフィボナッチの問題では、F₀＝１、F₁ = 1、F_２ =2　となるため、先に述べた現在の一般的なフィボナッチ数列のケースとは、初期値が異なっていることになる。ただし、初期値が異なっていても、以下で述べるようなフィボナッチ数列の性質は変わらない。

一般項

フィボナッチ数列の一般項は、黄金数φ

を用いて、次の式で表される。これをフランスの数学者ジャック・フィリップ・マリー・ビネ（Jacques Philippe Marie Binet）に因んで「ビネの公式（Binet's formula）」という。不思議に思われるかもしれないが、式の中に無理数の

が含まれているが、結果数値は常に自然数になる。

なお、｜１－φ｜＜１であることから、上式における第2項はnが大きくなると０に近づいていくことになるので、結局F_nは第１項を整数に丸めたものとなっていく。

また、φも1－φも方程式x²＝x＋１の解であることから、φⁿも（１－φ）ⁿも、前述のフィボナッチの漸化式（※）を満たしていることになる。従って、任意の整数aとbに対して、
aφⁿ　+ b（１－φ）ⁿもフィボナッチの漸化式を満たすことになる。

一般項を表す「ビネの公式」の証明

方程式

の解を、

と

とすると、α＋β＝１、αβ＝－１　となることから、
F_n=（α＋β）F_n-1－αβF_n-2
となる。これにより、
F_n－αF_n-1＝β（F_n-1－αF_n-2）
となり、F_n－F_n-1　は公比βの等比数列になる。よって、
F_n－αF_n-1＝β^n-2（F₂―αF₁）=β^n-1

同様に
F_n－βF_n-1＝α^n-2（F₂―βF₁）=α^n-1

この２つの式から、F_nについて解くと
F_n＝（αⁿ－βⁿ）／（α―β）

となる。

フィボナッチ数列の性質

フィボナッチ数列は、多くの興味深い性質を有している。以下にいくつかの例を挙げておく。

（その１）（初期値 (F₀= 0, F₁ = 1) に依らずに）フィボナッチ数列の隣接2項の商は黄金数 φ に収束する。

これについては、研究員の眼「黄金比φについて（その１）－黄金比とはどのようなものなのか－」（2020.11.10）で述べた。

（その２）自然数 p, q の最大公約数を r とすると、F_pと F_q の最大公約数は Fr となる。
この性質の特殊なケースとして、連続する２つの数は互いに素であることより、「連続するフィボナッチ数は互いに素である。」といえる。

F_nとF_n-1が共通の約数p≥2を有するとすると、F_n=mp、F_n-1=np と書けることになることから、その漸化式より、
F_n-2=F_n－F_n-1=(m－n)p
となり、F_n-1とF_n-2も共通の約数pを有することになる。

これを繰り返していくと、結局F₁とF₂も共通の約数pを有することになり、これは明らかに矛盾する。

（その３）フィボナッチ数の累和や累積等については、多くの関係式が成立している。そのうちのいくつかの例を挙げると、例えば以下の式が成り立つ。

(1) F₁ + F₂+ F₃+ … + F_n= F_n+2− 1
(2) F₁ + F₃ + F₅+ … + F_2n−1= F_2n　又は　F₃ + F₅+ … + F_2n−1= F_2n－１
(3) F₂ + F₄ + F₆ + … + F_2n = F_2n+1 − 1
(4) F₁² + F₂² + F₃²+ … + F_n² = F_n F_n+1

(1)は、(2)と(3)が証明されれば、２つを足した結果として明らかなので、(2)を証明すると
F_2n=F_2n-1＋F_2n-2=F_2n-1+F_2n-3+F_2n-4＝・・・　
　＝F_2n-1+F_2n-3＋・・・＋F₅+F₃+F₂＝F_2n-1+F_2n-3＋・・・＋F₅+F₃+F₁

同様にして、(3)についても、以下のように証明される。
F_2n_⁺₁=F_2n＋F_2n1_－=F_2n+F_2n-2+F_2n-3=・・・
　　＝F_2n+F_2n-2+・・・＋F₄+F₂+F₁＝F_2n+F_2n-2+・・・＋F₄+F₂+1

(4)については、帰納法で証明できる。
n＝１の時は、F₁²=1、F₁F₂=1 となるので成り立つ。

nの時に成り立つとすると、(4)の両辺にF_n+1² を加えて
F₁² + F₂² + F₃²+ … + F_n²＋F_n+1² = F_n F_n+1　＋F_n+1²
　　　　　　　　　　　　　　　　　= F_n_＋１（F_n+1　＋F_n+1）＝F_n_＋１F_n+2
となって、n+1でも成り立つ。

（その４）任意の正の整数は、1つ以上の連続しない相異なるフィボナッチ数の和として一意に表現できる（これは、ベルギーの数学者エドゥアール・ゼッケンドルフ（Edouard Zeckendorf）に由来して、「ゼッケンドルフの定理」と呼ばれる）。

まずは、「任意の正の整数は、1つ以上の連続しない相異なるフィボナッチ数の和として表現できる」ことを帰納法で示す。

n=１の時は、明らか
nまで成立するとして、（n+1）以下の最大のフィボナッチ数をFｋとする。
(n＋１)－F_k＝０の時は、n+1＝F_kとなることから、表現可能
(n+1)－F_k≠０の時は、n+1－F_kは表現可能なので、n+1＝（n+1－F_k）＋F_k　も表現可能

さらに、n+1＜F_k+1＝F_k＋F_k-1　より、n+1－F_k＜F_k-1　となることから、上記のn+1表現にF_kと連続するF_k-1は使用されない。よって、n+1でも成り立つ。

次に、一意性を示す。

仮に、nに異なる２つの表現があるとした場合、双方に含まれるフィボナッチ数から共通するものを差し引いたものから、最大のフィボナッチ数をF_kとする。この時、F_kを含まない表現は、全てF_kより小さいフィボナッチ数の連続した和で表されていることになるので、上記の（その３）(2)及び(3)の性質（F₁=F₂からF₁とF₃は連続している）より、その総和はF_k未満となってしまい、矛盾する。

（その５）以下の関係式が成り立つ

ここで、F₁₁=89　である。上記の関係式は、この１／F₁₁　は、全てのフィボナッチ数を小数点以下一桁ずつずらして得られる数値の総和として表現されるということである。具体的には以下の通りである。

1／89＝0.011235955⋯⋯⋯
=0.01+0.001+0.0002+0.00003+0.000005+0.0000008+0.00000013+0.000000021⋯⋯⋯

何とも不思議な関係であると思わないだろうか。

（その６）フィボナッチ数の逆数を全て足し合わせると収束する（ André-Jeanninの定理）。
　　　　　　　　　　
この収束値（逆フィボナッチ定数）は無理数である。

これについても比較的簡単に証明できるが、ここでは割愛させていただく。

なお、フィボナッチ数列には、以下のような性質もある（さらに、一般化可能だがここでは特殊なケースだけを示している）。

（その７）10個の連続するフィボナッチ数は、必ず7番目の数の11倍となる。
則ち、全てのnに対して、

フィボナッチ数列の一般化等

フィボナッチ数列を一般化した、あるいは類似した概念として、以下のようなものが挙げられる。

一般化されたフィボナッチ数列
　フィボナッチ数列の初期値を以下のように一般化することができる。
G₀ = p
G₁ = q
G_n+2 = G_n+ G_n+1 (n ≥ 0)　　

この時、以下の等式が成り立つ。
G_n+1 =p F_n+ qF_n+1 (n ≥ 0)　　

また、この「一般化されたフィボナッチ数列」の隣接2項の商も黄金比φに収束する。

リュカ数
この「一般化されたフィボナッチ数列」の特殊なケースとして、最初の2項を 2と1 に置き換えた数列（即ち、L₀ = 2、L₁ =1）の項を「リュカ数（ルカ数）」という。フランスの数学者エドゥアール・リュカ（Édouard Lucas）はフィボナッチ数列の数学的な意義を認めて、その名前を付けたと言われている²。

リュカ数の最初の数列は、以下の通りとなる。

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, …

この数列の一般項は、以下のように表される。

リュカ数についても、いくつかの面白い性質がある。例えば、（ここでは証明しないが）「pが素数であるとき、L_p－１はpで割り切れる」ということが挙げられる。具体的にはL₇=29であるが、L₇－１＝28は７で割り切れるというような具合である。

² フィボナッチ数列の一般化である「リュカ数列」という概念があるがここでは触れない。

トリボナッチ数
「トリボナッチ数」³は、直前の三項の和として各項が定まる数列である。具体的には、以下の漸化式による。

T₀= T₁= 0
T₂ = 1
T_n+3 = T_n+ T_n+1+ T_n+2 (n ≥ 0)
と表される。最初の数列の値は次の通りとなる。

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, …

トリボナッチ数の隣接する2項の比も一定の値（トリボナッチ定数1.839286…）に収束していくが、この値も無理数で、3次方程式　x³－x²－x－1＝0　の実数根となっている。

この形での一般化は、さらには、テトラナッチ数、ペンタナッチ数等といった形で行われていくことになる。

³ 「フィボナッチ」はあくまでも人の名前であり、「フィ」に「２」という意味があるわけではないが、その一般化された数列は、「トリ（tri）（３）」や「テトラ（tetra）（４）」を使用した名称となっている。

負の整数への拡張
なお、フィボナッチ数列は、漸化式 F_n= F_n−1 + F_n−2 を全ての整数 n に対して適用することにより、n が負の整数の場合に拡張できる。この場合 F_−n = (−1)ⁿ⁺¹F_n となる。

黄金螺旋

研究員の眼「黄金比φについて（その２）－黄金比はどこで使用され、どんな場面で現れてくるのか－」（2020.11.20）で述べたように、以下の左図のように、フィボナッチ数列の正方形を並べていくと、黄金長方形ができ、それぞれの正方形に四半円を描いていくと、「黄金螺旋」ができる。

（その３）の(4)式が成り立つことは、以下の右図のn＝７のケースを考えてもらうと、確認できる。

上記の「黄金螺旋」においては、正方形を並べていくことで、黄金長方形が作成されていくことを示したが、逆にフィボナッチ数列の縦横比を有する長方形を積み重ねていくことで、以下の図が示すように、正方形を作成することができる。

この図はまた、以下の式が成り立つことを幾何的に示していることになっている。

nが偶数の時

　　　　　

nが奇数の時

最後に

今回は、フィボナッチ数列について、その定義や性質等について説明してきた。

フィボナッチ数列については、その名前や存在自体はご存知の方も多いと思われるが、それが非常に面白い性質等を有していることがおわかりいただけたのではないかと思われる。それだからこそ、自然界やそれ以外の一般社会等においても、フィボナッチ数が幅広く現れたり、使用されたりしている。これについては次回以降にご紹介していきたい。

日付	タイトル	執筆者	媒体
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2025/04/25

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