エレベータが下向きの確率は?－ガモフ－スターンのエレベーター問題をみてみよう

保険研究部主席研究員兼気候変動リサーチセンターチーフ気候変動アナリスト兼ヘルスケアリサーチセンター主席研究員篠原拓也

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◇ エレベーターの台数が3台だと、次に来るエレベーターが下向きの確率はさらに小さくなる

続いて、エレベーターの台数が3台の場合を考えよう。3台のエレベーターに、1)、2)、3)の番号をつけておく。

a階に次に来るエレベーターが下向きであるケースを、3つに場合分けしてみる。

(1) 1)～3)のいずれもa階より上の空間にいて、いずれかが次に来るケース

(2) 1)～3)のうち、2台がa階より上の空間、1台がa階より下の空間にいて、競争をした結果、a階より上の空間にいた2台のうちのどちらかが先に来るケース

(3) 1)～3)のうち、1台がa階より上の空間、2台がa階より下の空間にいて、競争をした結果、a階より上の空間にいた1台が先に来るケース

1)～3)のいずれもa階より下の空間にいる場合は、次に来るエレベーターは上向きとなるので、考えなくてよい。

まず、(1)の確率。これは、(1-p)³となる。

次に、(2)の確率。これは、かなりややこしい。a階より上の空間にいるエレベーターが、a階より下の空間(＝α区間)にいるエレベーターより先に来るためには、β区間にいる必要がある。

(2)のケースでは、a階より上の空間にいるエレベーターが2台あるので、さらにつぎの2つに場合分けをする必要がある。

(2-1) a階より上の空間にいる2台のエレベーターのうち、1台はβ区間、もう1台はγ区間にいるケース

(2-2) a階より上の空間にいる2台のエレベーターが、2台ともβ区間にいるケース

a階より上の空間にいる2台のエレベーターが、2台ともγ区間にいるケースでは、2台とも、α区間にいる1台のエレベーターとの競争に負けてしまい、a階に先に来ることができない。つまり、このケースは考えなくてよい。

(2-1)と(2-2)の確率を計算してみよう。

(2-1)では、1台がγ区間、1台がβ区間、1台がα区間にいる。それぞれの確率は、(1-2p)、p、pだ。

ここで、いきなり(1-2p)という確率が出てきて、「これはなんだ？」という気がするかもしれない。エレベーターがγ区間にいる確率は、β区間にいる確率(＝p)と、α区間にいる確率(＝p)を、全体の確率(＝1)から差し引いて、(1-2p)というわけだ。

1)～3)の3台が3つの区間に1台ずついるので、場合の数として6通りが考えられる。

そして、β区間にいる1台が、α区間にいる1台に、競争に勝って先にａ階に来る確率は1/2だ。

これらを掛け算して、(2-1)の確率は、　1/2 × 6 × (1-2p) × p × p ＝ 3p²(1-2p)　となる。

(2-2)では、2台がβ区間、1台がα区間にいる。3台のそれぞれの確率は、いずれもpだ。

1)～3)の3台が2つの区間に2台と1台に分かれているので、場合の数として3通りが考えられる。

そして、β区間にいる2台が、α区間にいる1台に、競争に勝って先にａ階に来る確率は2/3だ。

これらを掛け算して、(2-2)の確率は、　2/3 × 3 × p × p × p ＝ 2p³　となる。

続いて、(3)の確率。a階より上の空間にいるエレベーターは、a階より下の空間(＝α区間)にいる2台のエレベーターとの競争に勝ってa階に先に来るためには、β区間にいる必要がある。

1台がβ区間、2台がα区間にいる。3台のそれぞれの確率は、いずれもpだ。

1)～3)の3台が2つの区間に1台と2台に分かれているので、場合の数として3通りが考えられる。

そして、β区間にいる1台が、α区間にいる2台に、競争に勝って先にａ階に来る確率は1/3だ。

これらを掛け算して、(3)の確率は、　1/3 × 3 × p × p × p ＝ p³　となる。

(1)、(2-1)、(2-2)、(3)の各ケースの確率を合計すると、

(1-p)³ ＋ 3p²(1-2p) ＋ 2p³＋ p³ ＝ 1 － 3p ＋ 6p² － 4p³

となる。これは、1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)³ と表すことができる。これが、次に来るエレベーターが下向きである確率となる。

◇ エレベーターの台数が増えていくと、次に来るエレベーターが下向きの確率は1/2に近づいていく。

それでは、エレベーターの数が、さらに4台、5台とどんどん増えていったらどうなるだろうか?

前節のような計算方法をつづけていくと、場合分けの数がどんどん増えていき、収拾困難な事態となる。

ところが、ここで、うまい計算方法がある。じつは、エレベーターの数がn台の場合、次に来るエレベーターが下向きである確率は、

1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)ⁿ

と表すことができる。(この証明が気になる方は、後述の (参考) をご参照いただきたい。)

上述の、エレベーターが1台、2台、3台の場合の確率を求めた際にも、この形で表すことができると記していたので、このことに気がつかれた読者もいるだろう。

ここで、p≦1/2なので(1-2p)≧0となる。また、p＞0なので、(1-2p)＜1となる。つまり、(1-2p)について、0≦(1-2p)＜1という不等式が成り立つ。(1-2p)ⁿ の部分は、nが大きくなるにつれて小さくなり、0に近づいていく。

つまり、エレベーターの台数が増えていくと、次に来るエレベーターが下向きの確率は1/2に近づいていく、ということになる。

実際に、7階建のビルの2階で待っているケースで見てみよう。

このケースでは、p＝1/6なので、

エレベーターの数が1台の場合、0.8333… (＝5/6)
　　　〃　　　　 2台の場合、0.7222… (＝13/18)
　　　〃　　　　 3台の場合、0.6481… (＝35/54)
　　　〃　　　　 4台の場合、0.5987… (＝97/162)

　　　　　　：　　：　　：　　：

という計算結果となり、たしかに台数が増えると、確率は1/2に近づいていく。

◇ エレベーターを何台も設置することで、上向きと下向きの確率を同じようにしている?

以上のように見ていくと、エレベーターの台数を増やすことで、一番上の階と一番下の階を除く途中の階では、次に来るエレベーターが上向きの確率と下向きの確率を1/2に近づけることができる。

デパートなどでエレベーターを設置する際に、このことがどれだけ考慮されているのか、筆者は知らないが、なかなか興味深い結果ということができるだろう。

今度、エレベーターを利用する際には、エレベーターホールで待つ間に、台数を数えて、次に来るエレベーターが上向きか、下向きかの確率を計算してみるのもよいかもしれない。

(参考)

エレベーターの数がn台の場合、次に来るエレベーターが下向きである確率は、

1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)ⁿ 　　と表すことができることの証明

nについて数学的帰納法を用いて証明する。

まず、n＝1の場合、確率は (1-p) となる。

これは、1/2 ＋ 1/2 × (1-2p) と表すことができるので成り立っている。

次に、n＝kのときに成立するとして、n＝k＋1のときの確率を計算する。

(k＋1)台のエレベーターを考えて、1)、2)、3)、…、k)、s) の番号をつけておく。そして、1)～k)のk台のなかで、ａ階に最初に来るエレベーターをt)と呼ぶことにする。

そう考えると、s)とt)の2台について、先にａ階に来るエレベーターを考えればよいことになる。

a階に次に来るエレベーターはsかもしれないし、tかもしれない。次に来るエレベーターが下向きであるケースを、3つに場合分けしてみる。

(1) s)もt)も下向きにａ階に来るケース

(2) s)は下向き、t)は上向きにａ階に来るケース

(3) s)は上向き、t)は下向きにａ階に来るケース

s)もt)も上向きにａ階に来るケースは、次に来るエレベーターが上向きとなるので、考えなくてよい。

まず、(1)。s)の確率は(1-p)、t)の確率は数学的帰納法の仮定から、1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)^k だ。

この2つを掛け算して、(1)の確率は、　(1-p)×{1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)^k }　　となる。

次に(2)。s)がt)よりも先にａ階に来るためには、s)はβ区間にいる必要がある。s)がβ区間にいる確率はpだ。一方、t)は上向きにａ階に来るので、t)が上向きにａ階に来る確率は、数学的帰納法の仮定を用いて、

1 － {1/2 ＋ 1/2 × (1-2p)^k } ＝ 1/2 － 1/2 × (1-2p)^k　　　となる。

s)がt)との競争に勝って先にａ階に来る確率をqとしよう。(こうすると、t)がs)との競争に勝って先にａ階に来る確率は (1-q) となる。これは(3)で用いる。)

これらを掛け算して、(2)の確率は、　q × p ×{1/2 － 1/2 × (1-2p)^k }　　となる。

続いて(3)。t)がs)よりも先にａ階に来るためには、s)はβ区間にいてa階に下がっていく必要がある。この確率は、α区間にいて、そこからa階に上がっていくことと同じ確率となる。つまり、t)の確率は、(2)のケースと同じで、

1/2 － 1/2 × (1-2p)^k　

一方、s)の確率は、pだ。

t)がs)との競争に勝って先にａ階に来る確率は、(2)でt)がs)との競争に勝って先にａ階に来る確率と同じになる。これは、(2)と(3)を見比べるとs)とt)の向きが入れ替わっただけだからだ。(2)で、s)がt)との競争に勝って先にａ階に来る確率をqとしていたから、t)がs)との競争に勝って先にａ階に来る確率は(1-q)となる。

これらを掛け算して、(3)の確率は、　(1-q) × p ×{1/2 － 1/2 × (1-2p)^k }　　となる。

(1)、(2)、(3)の確率を合計すると、(計算がやや面倒だが、)

(1-p)×{1/2＋1/2×(1-2p) ^k }＋q×p×{1/2－1/2×(1-2p) ^k }＋(1-q)×p×{1/2－1/2×(1-2p) ^k }
＝(1-p)×{1/2＋1/2×(1-2p) ^k }＋p×{1/2－1/2×(1-2p) ^k }
＝(1-p)×1/2　＋　(1-p)×1/2×(1-2p)^k　＋　p×1/2　－　p×1/2×(1-2p)^k
＝1/2　＋ (1-2p)×1/2×(1-2p)^k
＝1/2　＋ 1/2 × (1-2p)^k+1

つまり、n＝k＋1のときも成り立っていることになる。

(証明　終わり)

(参考文献)

「確率は迷う－道標となった古典的な33の問題－」Prakash Gorroochurn 著・野間口謙太郎訳(共立出版、2018年)

“Mathematical Games” Martin Gardner (Scientific American, Vol.228. No.2, pp106-109, Feb. 1973)