長期投資のリスクに注意－25年間だと１年間の投資と比べて「リターンは25倍、リスクは５倍」は本当か？　|ニッセイ基礎研究所

1――はじめに

相場の方向やこれから上昇する銘柄を予測できる特別な能力を持たない普通の人にとって、投資の基本は「長期投資・積立投資・分散投資」である。それぞれ合理的な理由・効果があるのだが、本稿では長期投資に焦点を当て、その効果についてリターンとリスクの両面から再考する。

2――リターンにおける長期投資の効果

1｜単利と複利と複利効果
リターンにおける長期投資のメリットと言えば複利効果であるが、複利効果を説明する前に、単利と複利の違いについて説明する。そもそも、１年間投資した場合に得られる利益は、投資額にリターン（年率）を掛け合わせた値になる。単利と複利の違いは、複数年投資する際の２年目以降の投資額の違いにある。単利は、毎年の利益を回収し翌年以降の投資に回さない、つまり時間が経過しても投資額は増えず、一定という前提である。一方、複利は、毎年の利益を翌年以降の投資に回し、毎年の投資額が変化する前提である。繰り返しになるが、１年間投資した場合に得られる利益は、投資額にリターン（年率）を掛け合わせた値なので、毎年の利益を翌年以降の投資に回し、投資額が大きくなる複利の方が利益も大きくなり、この効果を複利効果という。

初期投資額100万円、リターン（年率）が10％の例で複利効果を具体的に確認する（図表１）。単利の場合、毎年の投資額は変わらず100万円なので、どの年も１年間で10万円（100万円×10%）の利益を生む。１年間投資した場合の利益は10万円、２年間投資した場合の利益は合計20万円、３年間投資した場合の利益は合計30万円で、合計利益は年数に比例して増える。複利の場合も、１年目の利益は10万円だが、２年目以降の利益が異なる。２年目の投資額は１年目の利益を加えた110万円になり、これに対して10%の利益を生むので、２年目の利益は11万円になる。３年目の投資額は２年目の利益を加えた121万円になり、これに対して10%の利益を生むので、３年目の利益は12万1,000円になる。２年間投資した場合の利益は合計21万円、３年間投資した場合の利益は合計33万1,000円で、いずれも単利の結果（20万円と30万円）より多く、この単利と複利の差が複利効果である。２年間投資した場合の複利効果が１万円（21万円‐20万円）に対して、３年間投資した場合の複利効果は３万1,000円（33万1,000円‐30万円）で、３年間投資した場合の複利効果の方が多い。このように複利効果は投資期間が長いほど大きくなる。

以上からわかることは、25年間投資した場合のリターンが１年間の投資と比べて25倍になるのは、複数年間投資した場合の利益の合計が、毎年の利益を足し合わせた値になる単利の場合に限った話である。価値（初期投資額と合計利益の和）が、毎年のリターンに１を加えた値の掛け算で決まる複利の場合は25倍にはならない。

2｜より高い複利効果を得るための条件と注意点
リターンの水準によって複利効果は大きく異なる。１年間で１％の利益を生む投資なら、単利の場合、どの年も１年間で１万円（100万円×１％）の利益を生み、３年間投資した場合の利益は合計３万円である。複利の場合は、利益の積み上がりが小さいので、３年間投資しても利益は合計３万301円で、３万円よりわずかに高い程度である。このようにリターンの水準が低いと、得られる複利効果も小さくなる。長期投資のメリットである複利効果を期待するには、リスクをとって高いリターンを狙う方が良いのだが、リスク（リターンのばらつき）がある場合は注意点もある。

１年目は０%、２年目に20%、３年目に10%、平均すると年間で10％の利益を生む場合を例に、注意点を説明する（図表２）。単利の場合、１年目の利益は０万円（100万円×０％）、２年目の利益は20万円（100万円×20％）、３年目の利益は10万円（100万円×10％）で、２年間投資した場合の利益は合計20万円、３年間投資した場合の利益は合計30万円になる。リスクが無く、毎年10%のリターンを生む投資（図表１）と比べると、１年間投資した場合の利益に差は生じるが、２年間以上投資した場合の合計利益に差はない。複利の場合、初めの１年間で利益は０万円なので、２年目の投資額は100万円のままで、これに対して20%の利益を生むので、２年目の利益は20万円になる。３年目の投資額は２年目の利益を加えた120万円になり、これに対して10%の利益を生むので、３年目の利益は12万円になる。３年間投資した場合の利益合計は32万円で、平均すると年率リターンが同じ10％でも、リスクが無く、毎年10%のリターンを生む投資と比べると３年間の投資で１万1,000円少なくなるのである。

【図表２】単利（左）と複利（右）の違い（リターンにばらつき（リスク）がある場合）

3｜単利は算術平均、複利は幾何平均
一般的に、平均とは複数ある数値（データ）すべてを足し合わせた値をデータの数nで割った算術平均（相加平均）のことを指すが、他にも様々な平均がある。そして、データのすべてを掛け合わせた値のn乗根を幾何平均（相乗平均）という。

理論上、幾何平均が算出平均を上回ることはなく、データにばらつきがない場合に限り、幾何平均と算術平均は一致する。データのばらつきが大きいほど、幾何平均は算術平均より低くなり、幾何平均と算術平均とデータのばらつき（標準偏差）σとの間には、以下の関係があることが知られている。

図表１及び図表２で示した通り、合計利益が毎年の利益の足し合わせた値になる単利は算術平均と相性が良く、価値（初期投資額と合計利益の和）が掛け算で増えていく複利は幾何平均と相性が良い。「１年目は0%、２年目に20%、３年目に10%、平均すると年間で10％」は算術平均なので、算術平均と相性が良い単利の場合、平均すると年率リターンが同じ10％ならば、リスクの有無に関わらず３年間投資した場合の利益は一致する。しかし、幾何平均と相性が良い複利の場合は差が生じ、リスクが高いほど利益が低くなる。

投資信託など金融商品の過去の運用実績など確定したデータに基づくリターンは幾何平均を用いていることが多い。一方、将来の期待できるリターンなど確定していないデータの幾何平均を想定するのは難しいので、一般的に算術平均を用いる。このため、リスクを伴う投資の運用成果は、毎年のリターンが算術平均の期待リターンと一致する前提で計算した期待値を下回り（図表１と図表２の複利の結果の差参照）、投資期間が長いほど期待値とリスクを伴う投資の運用成果との差は大きくなる。ただ、リスクを取って高いリターンを狙う事に意味がないと誤解してはいけない。一般的に、リスクのある投資には、幾何平均と算術平均の差（σ²／２）を考慮しても余りあるほど高いリターンが期待できるからである。リスクを伴う投資の運用成果が毎年のリターンが算術平均の期待リターンと一致する前提で計算した期待値を大きく下回っても、リスクを取らないよりはリスクを取って高いリターンが期待できる投資をした方が長期的にはより高い利益が期待できる。期待リターンとリスクを取らない場合のリターンとの差が、幾何平均と算術平均の差（σ²／２、リスクが10％の場合、10％×10％÷２で0.5％）と同水準かそれ以下の、ハイリスク・ローリターンの投機的な取引に手を出さない限り、過度に気にする必要は無いのである。

なお、リスクを伴う投資の運用成果と毎年のリターンが算術平均の期待リターンと一致する前提で計算した期待値との乖離については、４章で確認する。

3――リスクにおける長期投資の効果

1｜長期投資のリスクと投資期間との関係（√Ｔ倍ルールとは）
長期投資のリスクと投資期間との関係については、様々な見解があり、投資期間が長いほどリスクが大きくなるといった見解だけでなく、逆に投資期間が長いほどリスクは小さくなるといった見解もある。相反する見解だが、多くの見解の論拠は似通っている。一般的に将来の期待リターンμ（平均）やリスクσ（標準偏差）は１年間の投資を前提としている。毎年のリターンは正規分布に従い、どの年も期待リターンμとリスクσは同じで、今年のリターンは去年のリターンや２年前のリターンなど過去のリターンとは無関係に決まるという仮定の下で、長期間投資した場合のリスクを計算すると、１年間の投資を前提としたリスクに投資年数Ｔの平方根を乗じた値√Ｔσになるというもの、いわゆる√Ｔ倍ルールである。１年間の投資だとリスクσに対して、Ｔ年間投資すると√Ｔσになるので、長期投資の方がリスクは大きくなると言える。一方、リスクが小さくなるという見解は、期間の違うリスクを単純に比較するのは不適切だと考える人たちで、Ｔ年間投資した場合のリスク√ＴσをＴで割って計算した１年間当たりのリスクσ／√Ｔとσを比較して、長期投資のリスクは小さくなると結論付ける。

2｜√Ｔ倍ルールの根拠
投資年数Ｔ年のリスクが√Ｔσになる根拠を説明する。二つの確率的な値を取る変数を足し合わせた値の分散（標準偏差の二乗）は、それぞれの変数のリスク（σ₁ 、σ₂）と変数同士の相関係数ρを用いて、以下のように表現できる。

どの年も期待リターンμとリスクσは同じと仮定しているのでσ₁もσ₂も等しくσである。また、今年のリターンは去年のリターンや２年前のリターンなど過去のリターンとは無関係に決まるという仮定は相関係数ρが０（ゼロ）であることと同義である。つまり、２年間のリターンの和の分散が２σ²で、標準偏差であるリスクは分散２σ²の平方根で√２σになる。これが√Ｔ倍ルールの根拠の一つである。

「根拠の一つ」という含みのある書き方をしたのは、算術平均との相性が良い単利は二つの確率的な値を取る変数を足し合わせた値の分散で良いが、価値（初期投資額と合計利益の和）が毎年のリターンに１を加えた値の掛け算で決まる複利の場合の根拠としては不十分だからである¹。

そこで、毎年のリターンは正規分布に従い、どの年も期待リターンμとリスクσは同じで、今年のリターンは去年のリターンや２年前のリターンなど過去のリターンとは無関係に決まるという仮定の下で、25年分のリターン系列をシミュレーションにより１万シナリオ作成し、投資期間Ｔ＝５、10、15、20、25の場合の長期投資のリスク（複数年運用した結果のばらつき）を推計した。１年間の期待リターンμは、0.0%、0.5%、1.0%、4.0%の４パターン、リスクはσ＝５％（一律）とした。

図表３に√Ｔ倍ルールに基づき算出したリスクとシミュレーションにより推計した結果を示す。μ＝0.0%の結果は投資期間に寄らず、√Ｔ倍ルールに基づき算出したリスクとほぼ一致するが、μ＝0.0%以外は、投資期間が長いほど、√Ｔ倍ルールに基づき算出したリスクより大きくなる。またその傾向は期待リターンμが大きいほど顕著で、μ＝4.0%、Ｔ＝25のケースでは、√Ｔ倍ルールに基づき算出したリスクの2.6倍に及ぶ（64.9％÷25.0%）ある。これはシミュレーションのミスではなく、正当な理由がある。

どの年も期待リターンμとリスクσは同じで、今年のリターンは去年のリターンや２年前のリターンなど過去のリターンとは無関係に決まるという仮定の下で、２年分の各年のリターンに１を加えた値を掛け合わせた値の分散（標準偏差の二乗）は、以下の式で与えられる²。

これを、Ｔ年分の各年のリターンに１を加えた値を掛け合わせた値の分散（標準偏差の二乗）に拡張すると、以下のように複雑な式になる。

非常に複雑な式だが、σが１（100%）を超えない限りσの（２×i）乗は、iが大きいほど０に近づく。σ＝５％なら、σの（２×１）乗は0.25%、σの（２×２）乗は0.000625%なので、最後の行以外は無視できる。「Ｔ個の中から１個を選ぶ組み合わせの数」はＴだし、μ＝0.0%なら（1＋μ）を何乗しても１なので、Ｔ年分の各年のリターンに１を加えた値を掛け合わせた値の分散（標準偏差の二乗）はＴσ²で、標準偏差であるリスクは分散Ｔσ²の平方根で√Ｔσになる。複利の場合も√Ｔ倍ルールが成立するが、あくまでも近似であり、種々の条件を満たさなければ精度は著しく低下する。μ＝0.0%以外の場合、μの絶対値が大きくなるほど、また投資期間が長いほど、√Ｔ倍ルールに基づき算出したリスクと大きく乖離するのはこのためである。期待リターンが高いほど、また投資期間が長いほど高い複利効果が期待できるが、期待リターンが高いほど、また投資期間が長いほどリスクも高くなる。

以上よりわかることは、25年間投資した場合のリスクが１年間の投資と比べて５倍（＝√25倍）になるのは、単利の場合に限った話である。複利の場合は、リターンが０（ゼロ）で、投資期間が短い場合等の種々の条件を満たさない限り５倍にはならず、期待リターンμがプラスの場合は、５倍を超えるはずである。

¹ 対数収益率ならば、複数期間投資した場合の収益率をも単利と同様に和になるが、対数収益率は収益率の近似である。収益率の絶対値が大きいほど近似の精度は低くなり、図表３と同じ結論になる。
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