ディリクレの箱入れ原理

保険研究部主任研究員・気候変動リサーチセンター兼任植竹康夫

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具体例(2)の解答案

具体例(2)の解答案を、厳密なものではないが以下に示す。

全ての桁の数字が5である1桁からn+1桁までの（n+1個の）数字を考える（これらが「飴」である）。

これらn+1個の数字を各々「nで割った余り」でグルーピングする。

「nで割った余り」なので「0」から「n-1」までのn通りの「余り」がある。（これが「箱」である）。

ディリクレの箱入れ原理によると、２つ以上の飴の入っている箱が少なくとも一つ存在する。この問題の言葉で言い直すと「nで割った時に、同じ余りになるような数字の組が必ず存在する（３つ以上が同じ余になることもあるが、気にせず「組」と書いた）。」となる。※

この「余りが同じになる数字」から２つ数字を取り出し、大きい方から小さい方を引くと、問題文に示す性質を持った数字となり、かつnで割り切れる。

もう少し数学的に書くならば、ある余りr（0≦r≦n-1）に対して、a=sn+r、b=tn+r（s>t）となるa,bが存在する。あとはこれらを辺々引くと

a-b=(s-t)nとなりa-bはnの倍数であることがわかり、aがA桁、bがB桁の整数であったすると、a-bは1～B桁までは0、B+1～A桁までは5という数字になり、題意を満たす数字であることも確認できる（下記イメージ）。

※のところまでがディリクレの箱入れ原理で、そこから先はディリクレの箱入れ原理で取り出した２つ（以上）の数字の話となる。

曖昧なものに対して「少なくともこれは言えるよね」という取っ掛かり（必要条件）から攻めていく所に味わいがある。

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日付

タイトル

執筆者

媒体

2025/07/23

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植竹康夫

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2025/07/01

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