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確率を使った分配問題-優勝賞金をどう分ける?
基礎研REPORT(冊子版)7月号[vol.328]
保険研究部 主席研究員 兼 気候変動リサーチセンター チーフ気候変動アナリスト 兼 ヘルスケアリサーチセンター 主席研究員 篠原 拓也
◇分配問題
(優勝賞金の分配問題)
あるスポーツで、頂上決戦シリーズが行われる。シリーズは最大7試合で、先に4勝したチームが優勝を手にする。優勝チームには、優勝賞金が与えられる。このシリーズを、AチームとBチームが戦っている。第5戦が終了してAチームの3勝、Bチームの2勝だった。この状況で未曽有の天災が発生して、シリーズは中止にせざるを得なくなった。さて、優勝賞金を2チーム間で分けるとしたらどのように分配すべきか?
その上で、こんなふうに考える。もし第6戦が行われてAチームが勝ったとすると、Aチームが4勝となりAチームの優勝が決まる。その確率は1/2だ。逆に第6戦にBチームが勝利したとすると、両チーム3勝ずつのタイとなり、第7戦が優勝のかかる大一番となったはず。その確率も1/2だ。
第7戦に進んだ場合、Aチームが勝利する、つまり優勝する確率は1/2。これらをまとめると、Aチームの優勝する確率は、1/2+1/2×1/2 = 3/4 と計算できる。つまり、優勝確率は75%。Bチームの優勝確率は残りの25%となる。優勝賞金の分配は、Aチームに総額の3/4、Bチームに1/4とすればよい。
◇確率を使わない解法もある
◇やっぱり確率が必要
一方、確率を使うと、Aチームの優勝する確率は次の3つに分けて考えられる。
(1)第6戦で勝つケースと、第6戦で負けるケースの半分。(2)第6戦を引き分けて、第7戦で勝つケースと、第7戦で負けるケースの半分。(3)第6、7戦を引き分けて、第8戦で勝つケースと、第8戦で負けるケースの半分。いま、第7戦までは1試合でAやBが勝つ確率をp、引き分けの確率をt(2p+t=1)とすると、Aの優勝確率は、
p+p/2+t(p+p/2)+t2(1/2+1/4)= 3/4
つまり75%と計算される。Bの優勝確率は残りの25%となる。
◇デュースでも賞金の分配ができる
このように確率を使うことで、状況の優勢、劣勢を数字で表現できる。確率は、こんな形で役立てることもできるわけだ。
(参考文献)「確率パズルの迷宮」岩沢宏和著(日本評論社,2014年) “Mathematical Puzzles” Peter Winkler(CRC Press, 2021)
(2024年07月05日「基礎研マンスリー」)
保険研究部 主席研究員 兼 気候変動リサーチセンター チーフ気候変動アナリスト 兼 ヘルスケアリサーチセンター 主席研究員
篠原 拓也 (しのはら たくや)
研究・専門分野
保険商品・計理、共済計理人・コンサルティング業務
03-3512-1823
- 【職歴】
1992年 日本生命保険相互会社入社
2014年 ニッセイ基礎研究所へ
【加入団体等】
・日本アクチュアリー会 正会員
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