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- ネイピア数eについて(2)-ネイピア数は身近な数学的な問題の中でどのように現われてくるのか-
コラム
2018年05月08日
はじめに
前回の研究員の眼では「ネイピア数(Napier’s constant)」について、「それがどんな意味を有しているのか」について、その定義に基づいて説明した。
今回は、この「ネイピア数」が「我々の身近な数学的な問題の中でどのように現われてくるのか」について、紹介する。
今回は、この「ネイピア数」が「我々の身近な数学的な問題の中でどのように現われてくるのか」について、紹介する。
ネイピア数(の逆数)が現れる世界(その1)-1/nの確率で当たるくじ-
となる。この値は
n=2 の時は、 (1-1/2)2=0.25
n=3 の時は、 (1-1/3)3=0.296296
n=4 の時は、 (1-1/4)4=0.316406
n=5 の時は、 (1-1/5)5=0.32768
n=10 の時は、 (1-1/10)10=0.348678
n=100 の時は、 (1-1/100)100=0.366032
といような感じで、nが大きくなると徐々に大きくなっていく。
人間の感覚からすると、nが大きくなると、さすがにn回引いてn回とも当たらない確率は、小さくなっていくのではないか、と思われるかもしれないが、実際は逆である。
それでは、この値はnとともに限りなく大きくなっていくのかというと、そうではない。
前回の研究員の眼でも述べたように、この値はnを限りなく大きくしていった場合に1/e(ネイピア数の逆数)に収束していくことになる。即ち、この確率は、
n=2 の時は、 (1-1/2)2=0.25
n=3 の時は、 (1-1/3)3=0.296296
n=4 の時は、 (1-1/4)4=0.316406
n=5 の時は、 (1-1/5)5=0.32768
n=10 の時は、 (1-1/10)10=0.348678
n=100 の時は、 (1-1/100)100=0.366032
といような感じで、nが大きくなると徐々に大きくなっていく。
人間の感覚からすると、nが大きくなると、さすがにn回引いてn回とも当たらない確率は、小さくなっていくのではないか、と思われるかもしれないが、実際は逆である。
それでは、この値はnとともに限りなく大きくなっていくのかというと、そうではない。
前回の研究員の眼でも述べたように、この値はnを限りなく大きくしていった場合に1/e(ネイピア数の逆数)に収束していくことになる。即ち、この確率は、
に収束していくことになる。
さて、この値については、既にお気付きの方もおられるかもしれないが、以前の研究員の眼でも何回か出てきた。
さて、この値については、既にお気付きの方もおられるかもしれないが、以前の研究員の眼でも何回か出てきた。
ネイピア数(の逆数)が現れる世界(その2)-2つのトランプのカードが一致する確率-
まずは、研究員の眼「出会い(マッチング)の確率-世の中の各種事象において、出会い(マッチング)が起こる確率は、結構高いってこと知っていますか-」(2016.10.17)において出てきた。
XとYという2人がトランプのカードを、A(エース)からK(キング)まで、それぞれ1枚ずつ、合計13枚ずつ持っているとする。それぞれが1枚ずつ一緒に机の上に出しながら、「カード合わせ」を行うとする。同じ数のカードが同時に出た場合に「出会い(マッチング)」が起こったとする。13枚を全て出し尽くした時、「出会いが一度も起こらない確率」はいくらか、という問題を考えた。
これは、1708年にフランスの数学者ピエール・モンモール(Pierre Raymond de Montmort)によって提出された。この問題は、スイスの著名な数学者のレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)によって解決されている。答えは、約37%の確率で「出会いが一度も起こらない」ということになる。
なお、カードの枚数をn枚とし、nを十分大きくしていった場合には、この確率は1/e (ネイピア数の逆数)に収束していくことになる。
もう少し詳しい内容は、上記の研究員の眼を参照していただくことにして、まさに、(その1)とは異なる事象の確率が、nを十分大きくしていった場合には、同様の結論を生み出す形になっている。
XとYという2人がトランプのカードを、A(エース)からK(キング)まで、それぞれ1枚ずつ、合計13枚ずつ持っているとする。それぞれが1枚ずつ一緒に机の上に出しながら、「カード合わせ」を行うとする。同じ数のカードが同時に出た場合に「出会い(マッチング)」が起こったとする。13枚を全て出し尽くした時、「出会いが一度も起こらない確率」はいくらか、という問題を考えた。
これは、1708年にフランスの数学者ピエール・モンモール(Pierre Raymond de Montmort)によって提出された。この問題は、スイスの著名な数学者のレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)によって解決されている。答えは、約37%の確率で「出会いが一度も起こらない」ということになる。
なお、カードの枚数をn枚とし、nを十分大きくしていった場合には、この確率は1/e (ネイピア数の逆数)に収束していくことになる。
もう少し詳しい内容は、上記の研究員の眼を参照していただくことにして、まさに、(その1)とは異なる事象の確率が、nを十分大きくしていった場合には、同様の結論を生み出す形になっている。
ネイピア数(の逆数)が現れる世界(その3)-秘書問題-
さらに、研究員の眼「ベスト・ベターな秘書をどうやって選んだらよいのか-「秘書問題」で効率的な選択を実現する-」(2016.6.20)でも出てきた。
秘書を採用することを考える。n人の応募者のうち、r人の応募者と面接した時、順位が1位の応募者が採用できる確率を P(r) とした場合、P(r)の最大値については、nが大きくなるにつれて減少し、「nが無限大に近づくと 1/eに収束する。」ことが証明されている。
秘書を採用することを考える。n人の応募者のうち、r人の応募者と面接した時、順位が1位の応募者が採用できる確率を P(r) とした場合、P(r)の最大値については、nが大きくなるにつれて減少し、「nが無限大に近づくと 1/eに収束する。」ことが証明されている。
ネイピア数(の逆数)が現れる世界(その4)-正規分布やポアソン分布-
とりあえず
今回は、ネイピア数eが、我々の身近な数学的な問題の中でどのように現われてくるのかについての例をいくつか紹介した。ネイピア数は数学の世界において、幅広い場面で使用され、極めて重要な役割を果たしている。まさに、「自然対数の底」と呼ばれるように、数学の世界において、自然に現われ、自然に使用されているものである。
次回の研究員の眼では、実際の社会における自然現象等の表現や分析において、ネイピア数がどのように現れてくるのかについて紹介することとしたい。
次回の研究員の眼では、実際の社会における自然現象等の表現や分析において、ネイピア数がどのように現れてくるのかについて紹介することとしたい。
(2018年05月08日「研究員の眼」)
経歴
中村 亮一のレポート
日付 | タイトル | 執筆者 | 媒体 |
---|---|---|---|
2024/07/18 | 曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか(その7)-サイクロイド・トロコイド(その応用)- | 中村 亮一 | 研究員の眼 |
2024/07/04 | 欧州大手保険Gの内部モデルの適用状況について-2023年のSFCRからのリスクカテゴリ毎の標準式との差異説明の報告- | 中村 亮一 | 基礎研レポート |
2024/06/26 | 欧州保険会社が2023年のSFCR(ソルベンシー財務状況報告書)を公表(2)-内部モデルの適用状況等- | 中村 亮一 | 保険・年金フォーカス |
2024/06/19 | 欧州保険会社が2023年のSFCR(ソルベンシー財務状況報告書)を公表(1)-長期保証措置と移行措置の適用状況- | 中村 亮一 | 保険・年金フォーカス |
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