ツーポイント・コンバージョンの選択－勝利の確率を高めるために、いま勝負に打って出るべきか?

保険研究部主席研究員兼気候変動リサーチセンターチーフ気候変動アナリスト兼ヘルスケアリサーチセンター主席研究員篠原拓也

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◇ 8点ビハインドの場合は、勝負に打って出るべき

この計算結果は、アメリカンフットボールでは、ポイント・アフター・タッチダウンとして、エキストラキックの選択が多いことを知っていると、意外な感じがするようだ。

問題文にもあったように、エキストラキックは9割以上の高い確率で成功する。一方、ツーポイント・コンバージョンは、成功か失敗かは半々というところで、相対的に確実性が低い戦略とされる。

ただし、この問題の場合は、着実に1点をとるよりも、あえて勝負に出て2点を狙ったほうが勝利の確率が高くなる－アメリカンフットボールで8点ビハインドの場合は、勝負に打って出ることが、確率の面から合理的ということになる。

ただ実際には、この場合にもエキストラキックが選択されることが多いようだ。その理由として、確率のパズルの本では、8点ビハインドの状態でツーポイント・コンバージョンを選択して失敗すると、チームの士気が低下してしまう恐れがあること。マネージャーにとって、ツーポイント・コンバージョンを選択して負けると自分の責任になるが、エキストラキックを選択してオーバータイムで負けても敗因は選手に向かいやすいため、保守的な行動をとりがちであること、が挙げられている。

◇ 成功確率が4割弱でも、勝負に打って出るべき

それでは、ツーポイント・コンバージョンの成功確率がもっと低い場合はどうか。どのくらいまで低い場合まで、確率の面からこの選択が合理的といえるのか、計算してみよう。

問題文と同じ状態で、エキストラキックの成功確率はp、ツーポイント・コンバージョンの成功確率はrとおこう。両者は倍以上違う (p×1/2 ＞ r) ものとしておく。

エキストラキックを選択する場合、勝利の確率は、

p×p×1/2 ＋ (1-p)×r×1/2 ＝ 1/2×(p²＋r－pr)　　　　　　　　　…(1)

ツーポイント・コンバージョンを選択する場合、勝利の確率は、

r×p ＋ r×(1-p)×1/2 ＋(1-r)×r×1/2 ＝ 1/2×(pr＋2r－r²)　　　…(2)

ツーポイント・コンバージョンを選択したほうが勝利の確率が高くなるのは、

(2)－(1) ＝－1/2 × { r² － (2p+1)r ＋ p² }

がプラス、つまり{ }内がマイナスとなる場合だ。
　
これは、rについての2次方程式の解の公式から、r ＞ 1/2×((2p＋1) － (4p＋1)^0.5) となる。

p=0.95の場合、r ＞ 0.35455…　となる。エキストラキックの成功確率が95%の場合、ツーポイント・コンバージョンの成功確率が35.5%以上であれば、勝負に打って出るべき、という結果になる。

p=0.9の場合、r ＞ 0.327619…　となる。エキストラキックの成功確率が90%の場合、ツーポイント・コンバージョンの成功確率が32.8%以上であれば、勝負に打って出るべき、という結果になる。

8点ビハインドの場合、ツーポイント・コンバージョンの成功確率が5割どころか4割弱でも、勝負に打って出ることが確率の面から合理的ということになる。

◇ 確率の面からスポーツを見てみると面白いかも

今回は、アメリカンフットボールを題材とした確率のバズルを見ていった。実際には、確率の面だけでスポーツの戦略を評価することは一面的な見方といえるだろう。両チームの選手の状態、過去の対戦成績、今日のこれまでの試合の流れ、などさまざまな要素を織り込んで、適切な戦略が選択されるはずだ。

ただし、確率を踏まえてとられた戦略を眺めてみると、マネージャーの考えがおぼろげに見えてくるということもあるかもしれない。

スポーツを観戦するときの楽しみ方として、確率を意識してみることも面白いと思われるが、いかがだろうか。

(参考文献)

“Mathematical Puzzles” Peter Winkler (CRC Press, 2021)

“Going for 2 down 8 points: Explaining NFL analytics strategy” Seth Walder (ESPN, Sep. 24, 2023)
https://www.espn.com/nfl/story/_/id/28100383/going-2-8-points-why-nfl-teams-keep-doing-why-analytics-backs-up

“When To Go For 2, For Real - Down 4, 8 or 11 in the fourth quarter? Go for it.”Benjamin Morris (FiveThirtyEight, Feb. 3, 2017)
https://fivethirtyeight.com/features/when-to-go-for-2-for-real/

「観るまえに読む大修館スポーツルール2024」(大修館書店, 2024年)

「公式規則・公式規則解説書 2024-2025」(公益社団法人日本アメリカンフットボール協会)
https://americanfootball.jp/wp-content/uploads/2024/07/a15cff4d81ed8f91f8d54c9b41f2c582.pdf

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