スパゲッティにみる主観確率－麺の端を結んでいったら、“輪” はいくつできる?

保険研究部主席研究員兼気候変動リサーチセンターチーフ気候変動アナリスト兼ヘルスケアリサーチセンター主席研究員篠原拓也

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◇ “1つの大きな輪” ができる確率は?

当たらなかった人の悔しさを晴らす機会として、もう1つ、追加の問題を考えてみたい。

(スパゲッティの “1つの大きな輪” ができる確率の問題) [追加の問題]
50本の麺を茹でて、それにパスタソースをかけてできたスパゲッティがあります。麺の端は、全部で100個あります。この麺の端を無作為に2つとって、結んでいくことにします。100個の麺の端をすべて結び終えたときに、“1つの大きな輪” ができる確率はどれくらいでしょうか？なお、ある回の麺の端を結ぶ作業と、他の回の作業は独立している(相互に影響し合わない)ものとします。また、麺が切れることはないものとします。

先ほどの問題で、輪は、少なくとも1個はできると説明した。50本の単麺全体で、1つの大きな輪ができる場合だ。それでは、このような場合が起こる確率は、どれくらいあるのだろうか?

A: 「輪が1つだけできるのは、49回までのタイ作業で1つも輪ができない場合だ。これは、そうそう起こることではない。せいぜい10数パーセントぐらい、といったところではないか。」

B: 「先ほどの問題の、平均的にできる輪の数を思い出してみるべきだ。少なくとも1個はできるのに、平均的には3個未満しかできない、というのだから、1個となる確率はかなり大きいはずだ。20パーセント以上はあるはずだ。」

C: 「いやいや、ちょっと待て。この稿のテーマは『主観確率』だ。筆者は、またもや、そこそこ大きいと思わせておいて、実は小さい、というオチを繰り返すつもりなのだろう。筆者の考え方を踏まえたら、5パーセント未満という答えが見えてくる…。」

Cの説は、問題そのものではなく、筆者の心理にしたがって展開されている。それでは、そろそろ1つの大きな輪ができる確率を計算してみよう。

この追加の問題では、1つ大切な前提が問題文に入れられている。ある回のタイ作業と、別の回のタイ作業の間は独立していて相互に影響し合わない、という前提だ。この前提により、確率の掛け算が可能となる。

50回目のタイ作業で必ず輪が1つできるのだから、全部で1個となるためには、49回目までのタイ作業では1つも輪ができないことが必要となる。その確率を求めればよいはずだ。

つまり、次のようになる。

98/99　×　96/97　×　94/95　×　……　×　2/3　×　1　＝　0.1256…　≒　13%

各タイ作業の独立性を前提とすると、100個の端を結んで1つの大きな輪ができる確率は、約13パーセントとなる。Aの説が正しいという結果だ。

◇ 主観確率を楽しんでみよう

スパゲッティの輪の個数の問題や、“1つの大きな輪” ができる確率の問題を通じて、主観確率と客観確率の差を感じることはできただろうか?

現実の社会で、確率をもとに何らかの判断を迫られる場合、たいていは主観確率を用いることになる。表計算ソフト等を使って、じっくり客観確率を計算している余裕はないことが多いためだ。

そこで、ビジネスの世界では「主観確率を鍛えよう」といった話になりがちだ。スキルの1つとして、確率の見積もり方をトレーニングしようというわけだ。だが、本稿では、まずは2つの確率の違いを楽しんでみることを、オススメしたい。

確率や平均に関する問題に接した場合、いきなり計算するのではなく、まず答えを予想してみる。そして、それと計算した結果を比べる。そうすることで、意外感や驚きを味わうことができる。

こうして、日々、新たなサプライズを感じていくうちに、いつの間にか確率的なものの見方が強化されるかもしれない。

まあそもそも、確率を通じて気分がリフレッシュできれば、それだけでも意味があるように思われるが、いかがだろうか。

(参考文献)

“Mathematical Puzzles” Peter Winkler (CRC Press, 2021)