完全数とその魅力について－「博士の愛した数式」を観て、改めて数字の持つ奥深さに魅せられました

はじめに

「博士の愛した数式」（小泉堯史監督）は、大学時代に数学を専攻して、曲がりなりにも、アクチュアリーという数学に関係する専門資格を有する私にとって、非常に興味深い映画であった。

小川洋子氏の小説を映画化したものであるが、交通事故による脳の損傷で記憶が80分しか持続しなくなってしまった元数学者である「博士」（寺尾聡）と、彼の新しい家政婦である「私」（深津絵里）とその息子「ルート」の心のふれあいを描いた作品で、映画鑑賞後に本当に心温まる気持ちにさせられた。

さて、この映画の中では、多くの数学用語が出てくる。今回は、その中から「完全数」について、紹介したい¹。

¹ 以下の記述では、後に述べる「メルセンヌ素数」に関する下記のWebサイトからの情報等に基づいている。
　Mersenne Primes:History, Theorems and Lists 　http://primes.utm.edu/mersenne/index.html
　さらに、GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search）のWebサイトを参考にした。
　http://www.mersenne.org/

完全数とは

「完全数（Perfect number）」と言われると、一体どんなに凄い数字なんだろうと、一瞬身構えてしまうかもしれないが、その定義は「その数字自身を除く約数の和がその数字自身に等しい自然数」ということになる。例えば、6の約数は、1、2、3、6の4つで、6以外の約数の和が、1＋2＋3＝6となるので、6は完全数である。28も完全数で、1＋2＋4＋7＋14＝28　となっている。「博士の愛した数式」では、これが阪神タイガースの江夏投手の背番号であるため、「博士」は江夏投手のファンだということで紹介されていた。

完全数は限られている

実は、完全数は、現時点で確認されているものは49個しかない（2016年末時点）。小さい順に、

6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328、2305843008139952128、・・・・・

となっている。最近までは48個と言われていたが、2016年1月に49個目が発見されている。

完全数を巡る未解決問題

完全数については、「完全数が無数に存在するのか、有限なのか」、「奇数の完全数は存在するのか」、「１の位が6か8以外の完全数は存在するのか」といった問題は未解決のままである。

これらの問題自体はシンプルで、数学者でなくても理解できるが、その解答は極めて難しいということになる。こうしたことは往々にしてみられることである。　

偶数の完全数とメルセンヌ素数

一方で、完全数については、「偶数の完全数は、全て２ⁿ^－１×（２ⁿ－１）の形である」ことが知られている。より、詳しくは、２ⁿ－１が素数であるような正の整数ｎに対して、２ⁿ^－１×（２ⁿ－１）は完全数となるが、逆に、偶数の完全数は２ⁿ－１が素数であるような正の整数ｎを用いて、２ⁿ^－１×（２ⁿ－１）という形で表される。

２ⁿ－１という形の数を「メルセンヌ数」といい、素数のメルセンヌ数を「メルセンヌ素数」とよんでいる。従って、上記は、「メルセンヌ素数と偶数の完全数が１対１に対応している」ことを示している。この定理の後半は、オイラー（Euler）によって証明されている。

実際に、上記で示した完全数は、以下のように表現される。

　n＝2　　6＝2^１×(2²－１)　　　　　　　 n＝3 28＝2²×(2³－１)
　n＝5　　496＝2⁴× (2⁵－１)　　　　　　n＝7 8128＝2⁶×(2⁷－１)
　n＝13　 33550336＝2¹²×(2¹³－１)

完全数の興味深い特徴

完全数はいくつかの興味深い特徴を有している。例を挙げると以下の通りである。

(1)6以外の完全数は、奇数の立法和で表される。

具体的には、以下の通りである。

　　 28＝1³＋3³　　　　　　　　　　　　　　　　496＝1³＋3³＋5³＋7³　　
　8128＝1³＋3³＋5³＋7³＋9³＋11³＋13³＋15³
　33550336＝1³＋3³＋5³＋7³＋9³＋11³＋13³＋15³＋･････＋123³＋125³＋127³

(2)6以外の完全数は４の倍数となっている。

(3)完全数は、連続した自然数の和で示される（これは、映画の中でも紹介されていた）。

具体的には、以下の通りである。
　　　 6＝1＋2＋3　　　　　　　　　　　　　28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
　　496＝1＋2＋3＋・・・・・＋31　　　8128＝1＋2＋3＋・・・・・＋127
　33550336＝＝1＋2＋3＋・・・・・＋8191