数字の「101」は素数であるが、いわゆる逆から数字を並べても同じ数となる「
回文素数」となっている。さらには、1と0の2つで構成される最小の素数となっている。
これに加えて、「101」の大きな特徴として、「101」が「
ユニーク素数(unique prime)」と呼ばれるものの1つになっていることが挙げられる。2及び5でない素数 p について、p の逆数の循環節
1の長さが他のものと一致しないものを「ユニーク素数」と読んでいる。
具体的には、3、11、37、101が最初の4つのユニーク素数となっていて、実際に
1/3 =0.3333・・・ (循環節の長さが1)
1/11 =0.0909・・・ (循環節の長さが2)
1/37 =0.027027・・・ (循環節の長さが3)
1/101=0.00990099・・・ (循環節の長さが4)
となっているが、その逆数がそれぞれの循環節の長さを有する素数は、これらしか存在しない。
なお、10
50以下には10
47以上の素数が存在しているが、ユニーク素数は18個しか存在していない。また。10
100以下には、ユニーク素数は23個しか存在していない。このようにユニーク素数は極めてレアなものである。過去から記録が更新されてきてはいるものの、2021年時点においても、50を若干超えるユニーク素数及びユニーク素数候補しか確認されていないようだ。その中では2万桁を超えるユニーク素数や800万桁を超えるようなユニーク素数候補もある。
因みに、5つ目、6つ目、7つ目のユニーク素数は、以下の通りとなっている。
1/9091=0.00010999890001099989・・・ (循環節の長さが10)
1/9901=0.000100999899000100999899・・・ (循環節の長さが12)
1/333667=0.000002997000002997・・・ (循環節の長さが9)
また、循環節の長さが5、6、7、8、11のユニーク素数は、以下の例が示しているように存在しない。
1/41 =0.02439024390・・・ 1/271 =0.003690036900・・・ (循環節の長さが5)
1/7 =0.142857142857・・・ 1/13 =0.076923076923・・・ (循環節の長さが6)
1/239=0.00418410041841・・・ 1/4641=0.00021510002151・・・ (循環節の長さが7)
1/73 =0.01369860136986・・・ 1/137 =0.0072992700729927・・・ (循環節の長さが8)
1/21649 =0.0000461915100004619151・・・ (循環節の長さが11)
1/513239=0.0000019484100000194841・・・ (循環節の長さが11)